微分几何教案 第七讲.doc

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1、具体如下：取上的向量场，对给定的有，于是为关于的齐次线性函数，有对和有下面设（即1-形式），为上的向量场。其中是的置换群，即是的逆序数。一般地，设13并且，设和分别为上的形式和形式，则设是上处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为和。设上的形式在这两个局部坐标系中分别表示为则有坐标变换公式：三、外微分13对流形上的0-形式（即函数），由函数的微分，有为上的1-形式，上式表明，是到的映射。下面将推广为到的映射。定义：设为流形上含的坐标邻域，局部坐标为。如果上的形式在中写成则定义外微分如下：性质：13①对有②对有③即都有③当时，对必有例考虑，取它的直

2、角坐标系则上所有微分形式为形式：形式：形式：形式：分别求它们的外微分。13庞卡莱引理及逆命题定义：设是维微分流形，。如果则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在使得则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有定理（引理）设是上的形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（引理的逆命题）设开集可收缩为一点，是上的形式，若是闭的，则是恰当的。对偶映射定义：设分别为维和维微分流形，是映射。定义映射使得对任何有其中即，是的微分。称为映射的对偶映射。13性质：⑴是线性的，即对，有⑵对有⑶，即对有⑷若是的，则局部地，设和分别为和上包含和的坐标图，局部坐标分别为和。如

3、果设则13§5.8流形上的积分一、体积元与可定向流形设是的一个直角坐标系为方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取的一个形式：显然它给出以为边构成的维正立方体。一般地，若是的任一个有序基，则于是可将之视为以为边的平行多面体的“有向体积”。若则称基底与标准基的“定向相同（相反）”。称为的标准体积元。13如上，取（如图示）一般地，在维实向量空间上任取两组基及，它们的关系为或定义等价关系：~这样就可将的所有有序基分为两个类，称之为的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如中，{}代表的右手系习惯称为正定向，而{}代表的左

4、手系为反定向。又如中确定它的一个标准定向流形的定向。定义：设是维微分流形，是的一个图集。若该图集能确定的切空间的定向，则称是可定向的。13可定向处雅可比行列式并非所有的流形都可定向，如带。定义：设是上的一个-形式，若对，都有，则称为流形的一个体形式（体积元）。可以证明：可定向上有一个体积元。设点处局部坐标系，则有自然基，若对都有则确定了流形的正向，否则反向。定义：设，是两个已定向的维微分流形，其定向分别由和确定，为映射。若微分形式与的定向相同，则称是保定向的；否则称是反定向的。命题：设映射流形和分别由-形式和13所定向，则保定向流形上的积分首先

5、考虑中开集，为的整体坐标系。取切空间的基确定的正方向，于是成为一定向流形。设为上一个可积函数，下面考虑维可定向的微分流形。设是上的一个图册，局部坐标为，下面用切空间上的自然基确定的定向。取的开覆盖的一个单位分解，即存在上的函数族，满足①对任何及，有且当时，；②对，仅有有限个。13①对，。设是上的一个形式，且其支集，是一个紧子集。如果对某个有则有上可表示为定义：一般地，由于是紧致的，可选有限个邻域覆盖，即有由单位分解可知，且于是，定义：形式在已定向流形上的积分为可以证明，有如下性质：13设是已定向的维流形上的有紧支集的形式，则①②③①若为上的体积

6、元，它确定的正向，为上的连续实函数，则当且仅当上式取等号。②若为的不相交开集，且的定向与一致，则变量置换公式：设是已定向的维微分流形，是一个保定向的微分同胚，为上的形式，则特别地，当（为的一开子集）是一微分同胚时，则对上的可积函数有13如当时，是一同胚，则有，即即经典的变量变换公式。13