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1、Voi.18No.1安徽工业大学学报第18卷第1期January2001J.ofAnhuiPoiyTechnoiogyUniversity2001年1月文章编号：1000-2170(2001)01-0078-05两退化点抛物方程解的存在性和唯一性郑靖波（华东冶金学院数理系，安徽马鞍山243002）摘要：讨论双退化抛物型方程解的存在性和唯一性。通过对非退化拟线性抛物型方程（即正则化问题）系列解的极限研究,给出问题的存在性证明,对解的唯一性证明,用解的压缩性质。关键词：退化抛物方程；存在性；唯一性中图分类号：0175.2文献标识码：AT
2、heprobiemonparaboiiceguationwithtwodegeneratedpointsZHENGJing-bo(Maths&PhysicsDepartmentofECUM,Ma'anshan243002,China)Abstract:Theexistenceanduniguenessofdoubiedegenerateparaboiiceguationareconsidered.Theiimitsofnon-degenerateguasiiineareguations(i.e.thereguiarizingprob
3、iems)areestabiished.Theuniguenesstheoremisprovedbythecontractionpropertyofthesoiution.Keywords:degenerateparaboiiceguationgexistencegunigueness考虑下列一类具有二个退化点的拟线性抛物型方程初始问题{U1=（a（U）Ux）x+（6U）Ux（x，t）ERX（0，T）(1)U（x，0）=U0xER(2)其中R=(-,)为一维欧氏空间，a(S)>0,VSE(0,1)且a(0)=a(1)=0,6(S)B
4、0,SE[0,11,U0(x)是取值于[0,11区间的可积函数。这个问题源于2种不能混合流体通过多孔介质的流动。其详细物理背景见文献[11以及它提供的参考文献。对2个退化点（面）问题，已有许多学者研究过。本文是对文献[11推广，并且证明有所不同。利用文献[31的方法证明了解的存在性及唯一性。在下列假设条件下，证明解的存在性及唯一性。(H)：a(S)C1[0,11C2(0,1)ga~(S)<-p,SE(0,1)ga(S)B0,SE(0,1)且a(0)=a(1)=0,其p是非1负的常数，6(S)EC1[0,11且M=max{6'(s)
5、}。SE［0，1］(H)：U1,(R)且U[0,11,iim20EW00EU0(x)=0,U0(x)SC,a.e.在R内（CB1为常数）。x_记SSA(S)=（S）dS,B(S)=（S）dS00定义称函数U(x,t)：RX[0,T1_[0,11是式(1),(2)的强解，如果U满足收稿日期：2000-06-05基金项目：安徽省教委科研课题资助项目（99JL0166）作者简介：郑靖波（1962-），男，安徽巢湖人，华东冶金学院数理系讲师，硕士。第l期郑靖波：两退化点抛物方程解的存在性和唯一性79((0,TDGWl,(RDD,U2(
6、(-r,rDX(0,TDD,U2((-r,rDX(0,TDD对所有r>0GlDUELtELxxEL2D0SUSl,IUxISCa.e.在RX(0,TD内；3DUt=(a(UDUxDx+6(UDUxa.e.在RX(0,TD内；4DU(x,0D=U0(UD引理l设U是式（l）、（2）的强解，那么a(UDUxEC(RD,对a.e.t>0。证明由假设条件及解的定义知(a(UDUDx,6(UDU2(-r,rDa.e.t>0xxEL由嵌入定理和r的任意性得a(UDUxEC(RD,B(UDEC(RDa.e.t>0注：设t是使a(UDUx(tDEC
7、(RD,那么Ux(tD可以看成在那些使U(x,tDE(0,lD的x点处的连续函数。引理2设U是式（l）、（2）的强解，则对所有t>0,U(tDELl(RD。证明由解定义知,U满足rrtrtrU（t）!=U0!+（a（U）Ux）x!+（6U）Ux!-r-r0-r0-r2(RD,r>0是任意实数，对所有t>0成立。"其中!EC0[-r,r]是区间[-r,r]中的特征函数，且可以看成是C2(RD空间的函数列的极限，再由Lebesgues控制收敛定理知0U（t）SU0+C（t）--故U(tDELl(RD。推论l设U是式(lD、(2D的解，则
8、任意r>0有limU(x,tD=0。x_推论l的结论可以从引理2及U(tD是关于x的Lipstiz连续得证。引理3设U与1是式(lD、(2D的强解，其初始值分别为U0,10。则U-#L（lR）SU0-#0L（lR）由类似文献[3]的定
