一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性.pdf

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1、山东科学第25卷第3期2012年6月出版SHANDONGSCIENCEVOI．25NO．3JUn．2012DOI：10．3976／j．issn．1002—4026．2012．03．007一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性原韶艳，刘衍胜(山东师范大学数学科学学院，山东济南250014)摘要：本文应用混合单调算子理论研究了一类奇异分数阶微分方程边值问题正解的存在性与唯一性。关键词：正解；Caputo分数阶微分；混合单调算子；奇异性中图分类号：0175．14文献标识码：A文章编号：1002-4026(201

2、2)03-0034-05Existenceanduniquenessofthepositivesolutionsofboundaryvalueofaclassofsingularfractional—orderdiferentialequationsYUANShao·yan，LIUYan—sheng(SchoolofMathematicalSciences，ShandongNormalUniversity，Jinan250014，China)Abstract：Thispaperemploysthetheoryo

3、fmixedmonotoneoperatortoaddresstheexistenceanduniquenessofthepositivesolutionsofbounda~valueofaclassofsingularfractional—orderdiferentialequations．Keywords：positivesolution；Caputoderivative；mixedmonotoneoproperty；singularityl引言及预备知识分数阶微积分的发展源于1695年LHospital和

4、Leibniz的书信，距今已有三百年的历史，此后许多著名的学者给出了分数阶微积分的不同定义和性质。近几十年来，随着分数阶微积分、分数阶微分方程在描述物理系统的动力学行为、生物工程、动力系统、控制系统等许多科学领域显现出的应用前景，分数阶微分方程受到越来越多的关注，采用的方法大多是拓扑度理论、迭合度理论、算子谱理论等。本文用混合单调算子理论考虑了一类奇异分数阶微分方程边值问题『。Do+(t)+g(t，／Z(t))=0，0

5、4]，并假设g：(0，1)X(0，+∞)一[0，+∞)为连续函数，+为Caputo型微分。下面给出Caputo分数阶微分积分定义、性质及一些预备知识。定义1．1_1Jh∈L[a，b]的a∈R+阶积分定义如下收稿日期：2012-04．11基金项目：山东省研究生教育创新计划项目(SDYY10058)作者简介：原韶艳(1987一)，女，硕士研究生，研究方向为非线性微分方程．Email：yuansy217@126．coln第3期原韶艳，等：一类奇异分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性35+(￡)=(s)，其中厂为Gam

6、ma函数．定义1．2设h∈C[a，b]，则h的0[阶Caputo导数定义如下(z)：+)(￡)=志．J[(￡一s)n-~-I‘’(s)ds，其中n=[]+1，[]为的整数部分；当为整数时，定义(D：+)(￡)=h’(￡)。引理1．1[设uEc(o，1)nL[0，1]，且“‘“∈(0，1)nL[0，1]，贝4露+Do+()=(￡)一co—c1t一⋯一Cn-1t一，其中C∈R，i=0，1，2，⋯，n一1，n=[]+1，[]为的整数部分；当为整数时，定义(D：+h)(t)=h‘’(t)。引理1．2t边值问题(1．1)

7、的解等价于积分方程u(t)Jov(t，s)g(s，u(s))dsl2-3(a-1)(a-2)t(1-s)~-(t-s’一，s≤；f；Gc，s)=7i11c·2，：一。一一。一2一≤【—((，。引理1．3由(1．2)定义的函数G(t，s)具有如下性质：(ii)G(，s)≥t2G(丁，s)，V￡，s，∈(0，1)；(iii)G(t，s)≤，V∈(0，)。2主要结果及证明‘设，=[0，1]，c(，)为定义在上的所有连续实函数构成的空间，定义空间X：c(，)，赋以最大值范数Iful1=m⋯axI(￡)l，则(，II·I

8、)为一Banach空间。由引理1．2容易得到#E1u．1lP={u∈c[o，1]I(t)≥0，“(t)≥tIlulI，Vt∈[0，1]}当g(，“)=厂(t，Ⅱ，t，)时，其中，u，)对不减，对u不增，则边值问题(1．1)变为J_+()+，()，())=0,0<<；(2．1)【(O)=“(0)=u”(1)=11,m(0)=0。定理2．1假定／∈C[(0，1)×(O，+∞)×(0，+o。