一类非线性分数阶微分方程边值解的存在性和唯一性-论文.pdf

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1、第37卷第3期应用数学学报Vo1．37No．32014年5月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAMay，2014一类非线性分数阶微分方程边值解的存在性和唯一性高洁(潍坊学院数学与信息科学学院，潍坊261061)(E—mail：gaojie71~126．GOre)周玮(济南工程职业技术学院基础部，济南250200)摘要本文考虑非线性分数阶微分方程边值问题Du(t)+，(t，u(t)，Dg+u(t))：0，0

2、12，并且a一5>1，0p≤1，o<∈<1，D，D是标准的Riemann-Liouville分数阶导数．文章研究了Green函数的性质，并利用一些不动点定理得到了解的存在性和唯一性结果．最后给出几个具体例题说明本文结果的应用．关键词分数阶微分方程；边值问题；Riemann—Liouville导数；不动点定理MR(2000)主题分类34A12；34B15；34B27中图分类O175．81引言分数阶微分方程近年来获得了广泛关注，主要原因是由于分数阶微积分理论自身的深入发展和它在不同科学领域，比如物理学、力学、化学、控制、工

3、程等等中的广泛应用．为了一个更深入地了解，读者可以阅读专著[1—4]和论文[5～7】及其相关文献．最近，有很多文章利用非线性分析的技巧(比如不动点定理，Lerary—Schauder理论，上下解方法等)研究了有非线性初值问题的分数阶微分方程的解(或正解)的存在性和重数(见『8—11]及其相关文献)．本文2013年3月20日收到．2014年3月24日收到修改稿山东省自然科学基金(ZR2011AL008)资助项目．3期高洁，周玮：一类非线性分数阶微分方程边值解的存在性和唯一性471LiCF等【ll】考虑了下面的分数阶微分方

4、程的边值问题Do％钆(t)+f(t，())=0，0

5、的存在性，其中2<<3，0<<1，D是标准的Riemann—Liouville分数阶导数，，是一个Carath~odory函数．RehmanMlll-等『19]研究了一类具有非线性多点边值问题的分数阶微分方程D(t)+f(t，(t)，D())=0，t∈(0，1)，m一2(0)=0，D(1)一∑J[)(=Yoi=1其中1<2，0<<1，0<<1(i=1，2，·一，m一2)，0且m一27=∑I口<1，i=1D是标准的Riemann—Liouville分数阶导数．他们利用Schauder不动点定理和Banach压缩映射原理得

6、到了解的存在性和唯一性结果．本文研究下列有多点边值问题的非线性分数阶微分方程D，“(t)+f(t，Ⅱ(￡)，J[)u())=0，0

7、是可测的；(ii)f(t，．，．)：[0，。。)×一[0，CO)对于几乎处处t∈[0，1]是连续的；(iii)对每一个紧集KC[0，。。)×，都有一个函数mK∈[0，1]，使得对几乎处处t∈[0，1]和所有的(，Y)∈K，有472应用数学学报37卷成立．2背景材料和预备知识为了方便读者阅读，将分数微积分理论中的一些必要定义陈述下来，这些定义都能在最近的文献中找到．定义2．1【】一个函数Y：(0，。。)一的阶数为>0的Riemann—Liouville分数阶积分定义为磷()高／0(一s)一(s)ds，假设右边在(0，。。

8、)上是逐点定义的．定义2．2[]一个连续函数Y：(0，∞)一的阶数为>0的Riemann—Liouville分数阶导数定义为。洲()as，其中n=[]+1，[】表示数Ol的整数部分，并且假设右边在(0，o。)是逐点定义的．引理2．3【]假设()∈c(o，1)nL(O，1)有一个阶数为>0的分数阶导数属于c(o，1)nL(O，1)，