很详细的快速幂算法.doc

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1、快速幂取模算法在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C的人较多~所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊，所以在这里对本文进行了修改，作了更详细的补充，争取让更多的读者一目了然]我们先从简单的例子入手：求=几。算法1.首先直接地来

2、设计这个算法：intans=1;for(inti=1;i<=b;i++){ans=ans*a;}ans=ans%c;这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：引理1：上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小

3、，于是不用思考的进行了改进：算法2：intans=1;a=a%c;//加上这一句for(inti=1;i<=b;i++){ans=ans*a;}ans=ans%c;聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。算法3：intans=1;a=a%c;//加上这一句for(inti=1;i<=b;i++){ans=(ans*a)%c;//这里再取了一次余}ans=ans%c;这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，

4、但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：1.如果b是偶数，我们可以记k=a2modc，那么求(k)b/2modc就可以了。2.如果b是奇数，我们也可以记k=a2modc，那么求((k)b/2modc×a)modc=((k)b/2modc*a)modc就可以了。那么我们可以得到以下算法：算法4：intans=1;a=a%c;if(b%2==1)ans=(ans*a)modc;//如果是奇数，要多求一

5、步，可以提前算到ans中k=(a*a)%c;//我们取a2而不是afor(inti=1;i<=b/2;i++){ans=(ans*k)%c;}ans=ans%c;我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k=(a*a)modc时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2modc而不是原来的abmodc，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项amodc，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans=(ans*a)%c

6、;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（logb）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。算法5：快速幂算法intans=1;a=a%c;while(b>0){if(b%2==1)ans=(ans*a)%c;b=b/2;a=(a*a)%c;}将上述的代码结构化，也就是写成函数：intPowerMod(inta,intb,intc){intans=1;a=a%c;while(b>0){if(b%2==1)ans=

7、(ans*a)%c;b=b/2;a=(a*a)%c;}returnans;}本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。以下内容仅供参考：扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。=？求解这个问题，我们也可以从进制转换来考虑：将10进制的b转化成2进制的表达式：那么，实际上，.所以注意此处的要么为0，要么为1，如果某一项，那么这一项就是1，这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况，为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了，读者自己好好分析，可以联系10

8、进制转2进制的方法]，我们从依次乘到。对于每一项的计算，计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言，为时ans不用把它乘起来，[因为这一项值为1]，为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的，读者可以自行分析，这里我说不多说了，希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的