矩阵与变换（教师版）.doc

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1、泗阳桃州中学高三数学复习活动单矩阵与变换目标要求：1、理解矩阵相等的概念，能熟练进行矩阵的乘法运算；2、能熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，能用逆矩阵解二元一次方程组；3、熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法活动一：知识要点梳理1.乘法规则(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：[a11　a12]＝____________.(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝_________.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：＝(4)两个二阶矩阵的乘法满足_____

2、_律，但不满足________律和________律.即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的________与后一个矩阵的________相等时才能进行乘法运算.2.常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如，；(6)切变变换：如(k∈R，且k≠0).3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是______，B称为A的

3、________；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4.特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个________，而α称为A的属于特征值λ的一个____________.5.特征多项式设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝＝____________，称为A的特征多项式.1.矩阵与行列式的区别矩阵A＝与它的行列式

4、A

5、＝的意义是不同的，矩阵不是一个数，而是4个数按顺序排列成的

6、一个数表，行列式

7、A

8、是由矩阵A4算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式，矩阵代表一个线性变换，它的行列式只是这个变换的性质之一.2.行列式与矩阵设A＝，

9、A

10、＝＝ad－bc，并记Δ＝

11、A

12、＝det(A)①A可逆的充分必要条件是：Δ≠0；②当Δ≠0时，A－1＝.3.特征值与特征向量的几何意义从几何上看，特征向量经矩阵A的变换作用后，仍与原向量共线，这时特征向量或者方向不变(λ>0)或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向活活动二：基础自测1.设矩阵A为二阶矩阵，且规定

13、其元＝i2＋j(i＝1,2；j＝1,2)，则A＝__________.2.＝________.3.若A＝，B＝，则AB＝________.4.设A＝，B＝，则AB的逆矩阵为_____________________.5.若A＝，则A的特征值为______.活动三：合作、探究、展示、提升考向一　矩阵与变换【例1】►(2011·江苏省苏北四市高三第一次调研测试)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝.【训练1】(2011·扬州中学冲刺)四边形ABCD和四边

14、形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M.4考向二　矩阵的乘法与逆矩阵【例2】►已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1.【训练2】已知矩阵A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵．考向三　矩阵的特征值与特征向量【例3】►(2011·南通调研)已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到

15、点P′(－4,0)，求：(1)实数a的值；(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【训练3】(2011·南通调研)已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.例4.已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4).(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程

16、.【训练4】已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝4.(1)求矩阵A；(2)若向量β＝，计算A5β的值.一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知变换T：→＝，则该变换矩阵为________．2．将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y＝x对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为__________．3．若A＝，B＝，则AB＝________.4．函数y＝x2在矩阵M＝变换