用法向量求二面角和证明两平面垂直.doc

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1、甘肃省临夏中学魏金宝用法向量求二面角和证明两平面垂直用法向量证明两平面垂直问题要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。例1.如右图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA；分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1，C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0

2、，2，1），，，，分别假设面CEA与面DEA的法向量是、，所以得，不妨取、，从而计算得，所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。例2、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2

3、a，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P（0，0，a）,D(0,3a,0)，C(a,a,0),,,,取平面ACD的一个法向量2/2甘肃省临夏中学魏金宝，设平面PCD的法向量是、，所以得。不妨取，从而计算得易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是2/2