极大值与极小值.ppt

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1、3.3.2极大值与极小值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）确定函数的定义域（2）求出函数的导函数（3）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）求解不等式f′(x)<

2、0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（5）确定f(x)的单调区间2、导数的应用：判断单调性、求单调区间yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)

3、所有点，都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即波峰波谷处的值------不一定最大值或最小值）使函数取得极值的点x0称为极值点（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；观察与思考：极值与导数有

4、何关系？对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.oaX1X2X3X4baxyf(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0f(x4)=0观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0探究活动请问如何判断f(x0)是极大值或是极小

5、值？f(x)<0yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)<0f(x)>0f(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)是极小值；已知f’(x0)=0，二、判断函数极值的方法x2导数为0的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，左负右正为极小求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并

6、列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；三、函数极值的步骤例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.解：例2求函数的极值。x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=17/3当x=2时，y极小值=－5++0-0极大值17/3极小值-5x(-∞,-a)-a(-

7、a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例3:求函数的极值.解:函数的定义域为令,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数

8、必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导