空间解析几何与向量代数.doc

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1、第七章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算一知识点、重点及难点1.知识点：（1）向量的概念向量：既有大小，又有方向的量（又称矢量）.向量的表示：以为起点，为终点的有向线段，或.数学上只研究与起点无关的自由向量.向量的模：向量的大小.向量的模记作.单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.记作.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.负向量：与向量的模相同而方向相反的向量，即.向量相等：与大小相等，方向相同，记作.向量平行：与方向相同或相反，记作∥.与平行，又称与共线.（2）向量的线性运算1.向量的加法：平行四边形法则，三角形法则运算规律

2、：交换律结合律向量的减法：2.向量与数的乘法：实数与向量的乘积是一个向量，记作.其大小为方向当时，与同向：当时，与反向；当时，，方向是任意的.运算规律：结合律分配律.表示与同方向的单位向量.若则∥存在唯一的实数，使（3）空间直角坐标系：在空间取定一点（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向轴时，大拇指的指向就是轴的正向.三个坐标面面、面、面将空间分成八个卦限，含有轴、轴、轴。正半轴的卦限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在面下方，第一卦限之下是第

3、五卦限，按逆时针方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。设点在空间直角坐标系的坐标为则向量或表示为，即既是向量的坐标，也是的坐标。(4)向量的坐标运算：设则向量向量则若则∥唯一（5）向量的模﹑方向角﹑投影ⅰ）向量的模若向量则若则ⅱ）方向角与方向余弦作，称为向量与的夹角，记作或方向角:,与三个坐标轴的夹角称为向量的方向角。)向量的投影向量在轴上的投影：或记作在轴上的投影:1.重点：向量的概念，向量的线性运算，向量的模，方向角，投影。2.难点：向量的线性运算的坐标表示，向量的方向角，投影。二．主要题型1.与向量的概念，线性运算有关的习题。2.综合题型。三．典

4、型例题解析例1设已知两点和，计算向量的模，方向余弦和方向角。解方向弦为方向角分别为例2设向量的模是4，它与轴的夹角是，求在轴上的投影。解已知，四同步自测练习题1.向量与轴和轴夹角相等，而与轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角各为多少？参考答案与提示1.或第二节数量积向量积混合积一．知识点、重点、及难点1.知识点：ⅰ定义：，运算结果是一个数。ⅱ性质：交换律：结合律：数乘律：，为实数。ⅲ坐标表示：，（2）向量积：ⅰ定义：；的方向垂直于与决定的平面，的指向按右手规则，从转向来确定。ⅱ性质：负交换律分配律数乘律，为实数。。∥等于与为邻边的平行四边形的面积，或者说以与为邻边的三角形的面积的

5、2倍。ⅲ坐标表示：，∥（3）混合积ⅰ定义：结果为一个数。ⅱ性质:等于以，,为棱的平行六面体的体积。，,共面2.重点：向量的数量积、向量积、混合积的定义与应用。3.难点：数量积、向量积、混合积的应用。二．主要题型1.与向量代数运算（数量积、向量积、混合积）有关习题。2.综合题型。三．典型例题解析解题注意事项：区分哪些是数量，哪些是向量；区分各个运算的规律、特征；区分向量平行、垂直、共面的充要条件。例1.（1）设，，若，则=（），若∥，则=（）。（2），，，，，，则=（）（3），，，则=（）（4）设，则（）解：（1）。∥。（2）设则由条件可得或者：由，知∥而又由知（3）（4）。例2．已知，为

6、与的夹角，求。解：例3.，求与的夹角。解：。四同步自测练习题1．已知，求。2．求同时垂直和的单位向量。3．已知，为与的夹角，求以和为边的平行四边形的面积。4．已知、、均为单位向量，且满足关系式，求。5．已知求（1）向量在轴，轴，轴上的投影；（2）求；（3）的方向余弦；（4）与平行的单位向量。参考答案与提示1.22.3.4.5.(1)1,-3,3(2)(3)(4)第二节曲面及其方程一．知识点、重点、及难点1.知识点：（1）曲面的方程：一般式显式球面标准式一般式（1）旋转曲面：以一条平面曲线（曲线）绕其平面上的一条直线（旋转轴）旋转一周所成的曲面。ⅰ：母线为，绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为绕

7、y轴旋转所成的旋转曲面方程为ⅱ：母线为，绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为ⅲ：母线为，绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为ⅳ：母线为曲线，绕z轴旋转所成的曲面：其中为空间曲线参数式方程（3）柱面：平行于定直线并沿曲线C（准线）移动的直线L（母线）所成的轨迹。ⅰ.，表示以为准线，母线平行于z轴的柱面。，表示以为准线，母线平行于y轴的柱面。，表示以为准线，母线平行于x轴的柱面。ⅱ.特殊柱