利用二次函数进行方案设计2.doc

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1、利用二次函数进行方案设计在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题．解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计．【例2】(2011江津)在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示)，其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)  (1)试用含x的代数式表示y.(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均

2、每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为w元，求w关于x的函数关系式．②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由．③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．分析：(1)根据圆周长列出关于x，y的等式；(2)①根

3、据三个区域的面积和价格标准，列出关于x的函数关系式；②比较二次函数的最小值与1千万的大小，给出判断；③根据“建设刚好把政府投入的1千万与企业募捐资金64.82万元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根，根据长宽的要求进行取舍．解：(1)由题意得πy＋πx＝628.∵π＝3.14，∴3.14y＋3.14x＝628.∴x＋y＝200.则y＝200－x.(2)①w＝428xy＋400πy22＋400πx22＝428x(200－x)＋400×3.14×(200－x)24＋400×3.14×x24＝200x2－4000

4、0x＋12560000.②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务，其理由如下：由①知w＝200(x－100)2＋1.056×107＞107，所以不能．③由题意，得x≤23y，即x≤23(200－x)，解得x≤80.∴0≤x≤80.又根据题意，得w＝200(x－100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.整理，得(x－100)2＝441，解得x1＝79，x2＝121(不合题意，舍去)．∴只能取x＝79，则y＝200－79＝121.∴设计的方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直

5、径向外作半圆．方法归纳 利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当x＝－b2a时，y有最大(小)值4ac－b24a求得最值．最后要结合问题情境确定方案．注意有时确定最值时，需要考虑要在x的取值范围内．