玩转“解析何探究性问题”.doc

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1、玩转“解析几何探究性问题”毛金才数学中的探究性问题一般是条件开放或结论开放，高考中的探究性问题主要考查学生是否具备解决开放度较小的数学问题能力，即要求考生综合运用学到基本知识、基本技能和基本方法创造性地解决。本文仅对解析几何探究性问题进行讨论。一、以逆向思考的方法探究结论成立的条件例1在平面直角坐标系中,点，圆的方程是，试求参数a的取值范围，使圆上存在点,使成立。解析设M为(x,y)，因为，所以，整理得一个圆的方程，设为圆，所以，圆上存在点，使圆C与圆D相交或相切。点评解这类问题时首先要搞清问题的条件和结论分别是什

2、么，其次要准确理解探究的是充分条件还是必要条件，确保思维的严谨性，在探究过程中可以借用“数形结合”的方法启迪思维。二、以判断是否存在某个“几何元素”使结论成立进行探究例2已知椭圆，设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。解析由题意，，，因为过点作的垂线交轴于点，所以，所以AD的方程是，令得，，因为点是点关于轴的对称点，所以，则的直线方程是，因为在椭圆上，所以，所以直线QG的方程化简得，，代入得

3、，，又代入得，，解得，所以直线与椭圆一定有唯一的公共点。点评高考中二次曲线问题一般都是在压轴题的位置，解这类问题时只有明确计算、化简的目标，具有熟练计算、化简的技能，合理使用条件，保证刚开始的计算准确,善用增加思维量来减少计算量，才能作出正确的代数推理和判断。三、以判断含某个参数的等式是否成立进行探究例3如图，椭圆经过点，直线的方程为，是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由。解析由题意可设的斜率为，则直线的方程为①代入椭圆方

4、程，整理得，，设，则有②在方程①中令得，的坐标为，从而，注意到共线，则有，即，所以③②代入③得，，又，所以，故存在常数符合题意。点评解这类问题时需要恰当选取一个自变量（比如直线的斜率k），将恒等式的左右两边分别用自变量来表达。一般的探究方法是先假设存在含某个参数使等式恒成立，用“设而不求”的方法和韦达定理将它进行必要的整理、变形，进一步作出正确的判断。四、以判断含两个参数的不等式组是否能同时成立进行探究例4如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”。试探究圆内是否存在“

5、型点”？如果存在，写出点的坐标，否则，说明理由。解析假设圆内存在“型点”，所以在圆内存在一点，过该点的直线与曲线C1有交点，进一步直线斜率必存在，根据对称性,不妨设直线与曲线C2交于点，设直线的斜率是k，因为直线与：在第一象限的部分有公共点，所以，直线，化简得，，因为直线与圆有两个不同的交点，所以，化简得,............①因为直线与曲线C1有交点，则，因为，所以，化简得，.............②由①②得,，解得，，这与矛盾，所以假设不成立。综上圆内的点都不是“C1-C2型点”。点评解这类问题一般从讨论

6、某一动直线与给定曲线的位置关系入手，将建立的不等式的左右两边分别用动直线方程中的参数来表达。一般的探究方法仍是先假设存在参数使两个不等式都恒成立，通过必要的化简、变形，结合不等式的基本性质作出正确的判断。五、以理性猜想、特殊情形为突破口进行探究例5在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为A，B，动点T在定直线上运动，直线TA,TB与椭圆分别交于点，其中。试问直线MN是否过某一定点？如果是，请写出定点的坐标，否则，说明理由。解析设动点T的坐标为，直线TA方程为，直线TB方程为，直线与椭圆联立方程组，消去y得，，所以

7、，，，同理得，，。由椭圆和直线x=k都关于x轴对称，我们猜测：假设直线MN过定点，则必过x轴上一个定点。①当直线MN处于特殊位置时，得，化简得，，进一步得，此时直线MN方程为，直线MN过x轴上的点；②当时，直线MN方程为，令，解得，，即此时直线MN过定点。综合①、②证得，直线MN必过x轴上的一定点。点评解这种复杂的探究问题时，需要灵活、综合运用基础知识、基本技能和基本方法去探索条件、结论及其内联系，透过问题的表象去寻找、发现其中规律。一般的解题策略是从最简单的情形入手，归纳出问题的结论，再进行证明。总之，充分、合理

8、和联合运用已知的条件或结论是正确探究的有力支撑。解探究性问题的一般方法是从假设探究的结论成立出发进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则肯定的假设，并加以论证。(作者单位：江苏省海安县曲塘高级中学)