玩转“解析几何探究性问题”.pdf

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1、：一玩转“解析几何探究性问题"o毛金才数学中的探究性问题一般是条件开放或结论开放，高例2已知椭圆c：等+等=1，设Q(。，yo)(xoyo#o)考中的探究性问题主要考查学生是否具备解决开放度较为椭圆C上一点，过点Q作轴的垂线，垂足为E。取点小的数学问题的能力，即要求考生综合运用学到的基本知A(O，2,／Y)，连接AE，过点A作A的垂线交轴于点D，点识、基本技能和基本方法创造性地解决问题。本文仅对解G是点D关于Y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直析几何探究性问题进行讨论。一线QG是否与椭圆C一定有唯一

2、的公共点?并说明理由。、以逆向思考的方法探究结论成立的条件例1在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，圆C的解析由题意，E(0)，：一，方程是(—n)+(Y一2a+4)=1，试求参数n的取值范因为过点A作AE的垂线交轴于点D，围，使圆c上存在点，使MA=2MO成立。所以]~AD-X0解析设M为(，Y)，因为MA=2MO，。所以AD的方程是y+2,／Y。所以~／+(y一3)=2+y。令y：。，得。(一s。)，整理，得一个圆的方程X+(Y+1)=4，设为圆D。因为点G是点D关于Y轴的对称点，所以圆C上存在

3、点，使MA=2M0~o圆C与圆D相交或相切所以。(8，。)，QG的直线方程是甘I2—1l≤lCDI≤l2+1ly=甘l≤(n一0)。+【2a一4一(一1)】≤3(一)。O‰≤≤。因为Q(，yo)~Nc：等+=l上，点评解这类问题时首先要搞清问题的条件和结论所以‰+2yo=8(Yo≠0)。分别是什么，其次要准确理解探究的是充分条件还是必要条件，确保思维的严谨性，在探究过程中可以借用“数形结所以直线QG的方程化为y=(一)。合”的方法启迪思维。二、以判断是否存在某个“几何元素”使得结论成立进代入’等+=1，

4、得行探究(360+2)一16『1+(64—16ya)=0．1～2／2034高中生之友·上句刊13l高考探究l责编蔡志敏／542410772@qq．com又‰+2yo=8，代入得一2xo‰=0，-8j-z．,解得=‰，Y=Yo。所以直线QG与椭圆一定有唯一kl+k2：2一÷手’：：■：2一。4+34+3～的公共点。点评高考中二次曲线问题一般都是在压轴题的位又k3=k一-3-，所以k1+k2=2k3。置，解这类问题时只有明确计算、化简的目标，具有熟练计故存在常数A=2符合题意。算、化简的技能，合理地使用条件

5、，保证计算准确，善于增点评解这类问题时，需要恰当选取一个自变量(比加思维量减少计算量，才能作出正确的推理和判断。如直线的斜率k)，将恒等式的左右两边分别用自变量来表三、以判断含某个参数的等式是否成立进行探究达。一般的探究方法是先假设存在含某个参数使等式恒例3椭圆c：等+等=l经过点P(1，丢)，直线z的成立，用“设而不求”的方法和韦达定理做必要的整理、变方程为=4，AB是经过椭圆右焦点F的任一弦(不经过点形，并进一步判断。P)，设直线曰与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率四、以判断含两个参数的不

6、等式组是否能同时成立进分别为k，k：，k，．问：是否存在常数A，使得k+k=A?行探究若存在求A的值；若不存在，说明理由。例4如图，已知双曲线C．：一Y=1，解析由题意可设AB的斜率为k，曲线C2：IYI=I+1。P是则直线AB的方程为Y=k(一1)。①平面内一点，若存在过点P的直＼＼y／／代人椭圆方程}+}=1，线与C、C都有公共点，则称P整理，得(4k+3)一8k+4(k一3)=0。为“C一c型点”。试探究圆设A(1，Y1)，8(x2，Y2)，+y=÷内是否存在“c．一c型脯铲8k2。②点”?如果存

7、在，写出点P的坐标，否则，说明理由。在方程①中，令=4，得M的坐标为(4，3)，解析假设圆+y2=÷内存在“c．一C2型点”，33y一Y2一从．。而，，所以在圆X2+y2：内存在一点，1，1，1一，一过该点的直线l与曲线C有交点。。直线l斜率必存在，根据对称性，不妨设直线f与曲线c2交于点(t，t+1)(￡≥0)，注意到A，F，B共线，则有k=k，=k，，设直线l的斜率是，冈为直线1与C：IYI=II+l即=者在第一象限的部分有公共点，33所以k>1，)，一(t+1)：k(—t)所以y-一Y2—5-一⋯

8、，+k2可化简为kx—Y+(1+t—kt)=0。因为直线z与圆2+y2=有两个不同的交点，==T+者；二T一丢(【二T+者)J③所以<孚，将②代人③得，fl0(1+￡一<(+1)。⋯一①14高中生之友·上句刊1—2／2014高考攘究I责编蔡志敏／542410772@qqcoml因为直线l与曲线C有交点，则一5(+3)+9。ry一++1i等：腿=，y：孚。由椭圆和直线：都郡关于轴(k一÷)+2(1+f—kt)x+[(1+f—kt)+1]=0。