矩阵基本性质.doc

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1、矩阵的基本性质矩阵的第⾏第列的元素为。我们⽤或（）表⽰的单位矩阵。1.矩阵的加减法（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：b.结合律：c.d.2.矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：b.矩阵对数的分配律：c.结合律：d.3.矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有b.分配律：c.结合律：d.数乘结合律：4.矩阵的转置,（1）矩阵的幂：,,…,

2、（2）矩阵乘法满足的运算法则a.b.c.d.5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.（5）6.Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即a.b.c.d.e.f.（当矩阵可逆时）7.正交矩阵：若,则是正交矩阵（1）（2）（3）,8.酉矩阵：若,则是酉矩阵（1）（2）（3）,（4）9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正

3、规矩阵10.矩阵的迹和行列式（1）为矩阵的迹；或为行列式（2）；注：矩阵乘法不满足交换律（3）（4）,为酉矩阵，则（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）,，则其中为奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵（2）12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作,;（2）（为非奇矩阵）时，（3）且，则（4）由，得（5）（6）若（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则也上（下）三角矩阵（8）（9）（10）（11）Woodbury恒等式:（12）12.对角矩阵，矩阵为对

4、称矩阵，正交矩阵，则为对角矩阵或，则;13.矩阵的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）