常系数齐次线性微分方程.ppt

《常系数齐次线性微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章一、定义二阶常系数齐次线性方程：二阶常系数非齐次线性方程：二阶齐次线性方程：如何求解其中p,q为常数二阶变系数齐次线性微分方程其中p,q不全为常数二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法(1)由上节讨论可知,可先求出微分方程(1)的它的两个线性无关的特解y1,y2，那么c1y1+c2y2就是微分方程(1)的通解当r为常数时，指数函数y=erx和它的各阶导数都只相差一个常数因子.由于指数函数有这个特点，因此我们用y=erx来尝试看是否选取适当的r,使y=erx

2、满足方程(1).代入微分方程(1)，得特征方程(2)方程(2)的特征根(1)特征方程有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为(2)特征方程有两个相等的实根一特解为特征根为求另一特解,要求设另一特解为则因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取从而微分方程(1)的通解为(3)特征方程有一对共轭复根特征根为欧拉公式两个复数值特解为重新组合得到微分方程的新特解所以,微分方程(1)的通解为二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.解：特征方程为：解得：故所求通解为

3、例1解：特征方程为解得故所求通解为：例2例3.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为：特征方程的根通解中的对应项注意：n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为解:特征方程:即其根为方程通解:例5.故通解为：解：特征方程为1、思考与练习2、求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第八节3、为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方

4、程为其通解为1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.小结2.n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为：特征方程的根通解中的对应项预习第8节作业P3401（偶).2(奇)