抽象代数 历届试题.pdf

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1、2005-2006抽代期末1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．5.(20分)(1)证明2次扩张一定是正规的．(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规

2、扩张．6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．(1)求f(x)的分裂域Ｅ．(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．2008年冯荣权1.来自杨的P139182题2.证明存在非唯一分解因子整环3.p为素数，求Z(p^n)[x]中的可逆元，零因子，幂等元4.杨

3、的P5427485.体中的华罗庚恒等式6.2年前考试题最后一题，把2改成3.2008-2009冯荣权一、判断正误，并证明或举反例。（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张二、G是奇次交换群。α为自同构。α^2为恒同映射。G1={g

4、α(g)=g,g属于G}。G2={g

5、α(g)=g逆,g属于G}求证G1，G2为子群，且G=G1×G2三、丘维声《抽象

6、代数基础》75页推论8和例1四、构造27阶有限域并找出生成元。五、忘了……六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。并求商环R/P七、E=Q(√p,√q),p,q为素数。（1）求E/Q的伽罗华群（2）求伽罗华群的子群并求出中间域（3）求证E=Q（√p+√q）并求出极小多项式06-07期末抽代08-09期中1.(20’)写出D4的所有子群，并指出其中哪个是D4的中心，哪个是D4的导群2.(15’)N/C定理：NG(H)={g属于G

7、gHg-1=H},CG(H)={

8、g属于G

9、gxg-1=x,对任意x属于H},证明NG(H)/CG(H)同构于Aut(H)的一个子群3.(15’)

10、G

11、=2k，其中k为奇数，证明：G有一个阶为k的正规子群4.(20’)p、q为素数，证明p2q阶群不是单群（考虑p、q相等和不等的情况）5.(20’)

12、G

13、=n，证明G为循环群当且仅当对于n的每一个因子d，G都有唯一的d阶子群6.(10’)Q=

14、a4=e,a2=b2.bab-1=a-1>