历届代数试题

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1、(2011.1A)一、填空题(每题4分，共16分)1.设屆伏都是4维列向量，4阶方阵A=[a}020J，4阶方阵B=[a2A肉0J，已知制=1』科=4,则方阵

2、3A—4B

3、=._1-12_2.设a为3维列向量，ad=-11-2,则a%二,2-24all3.设3阶方阵A=1a1的秩为2,则常数a二:11a4.设&，入是/I阶实对称矩阵4的两个不同特征值，不是对应人的单位特征向量，则矩阵B=A-&兀有两个特征值为和.二、单项选择题(每题4分，共16分)V4-171.设有直线L:x-1==—和平面兀*:2兀+3丿+乙一1=0,则()—26(A)L与7T平行但不在兀上；(B)L在

4、龙上；(C)L与龙垂直相交；(D)E与龙相交但不垂直.2.设n(n>2)阶矩阵A非奇异，"为A的伴随矩阵，贝iJ(A*)*=()(A)A；(B)AA；(C)AA；(D)AA.3.设都是兀阶非零矩阵，且AB=O,则A和B的秩()(A)必有一个为o；(B)都小于死；(C)一个小于兀，一个等于死；(D)都等于死.4.72元二次型f(x]=XTAx正定的充分必要条件是()(A)

5、A

6、>0;(B)/的正惯性指数为0；(C)/秩为n;(D)A合同于单位矩阵.三、(10分)求点£(1,0,—1)到直线I:兰”=签2=行¥的距离四、(10分)设3阶矩阵〃满足2AB=英屮/为3阶单位矩阵.1-

7、20（1）证明A-21可逆；（2）若〃=120,求矩阵4._002五、（10分）已知©=（1，4,6）食8=（0,1,1）'=（1，2,4）食0=（2,2+2,22+3）r,（1）2为何值时，0不能表示为al9a2,a.的线性组合；（2）2为何值时，可以表示成的线性组合，并写ill该表示式._00六、（io分）已知矩阵人与〃=011010相似，求r（A-27）+r（A-Z）.0七、（10分）（注意:学习过第8章“线性变换”者做第2题,其余同学做第1题）1.设mxn矩阵4给定，令V={Ax^xeFw}（1）证明V是Fw±的线性子空I'可；1121（2）当人=222-11-1时，

8、求V的基与维数.12212.设3=（1,0,0,0）r,e2=（0J,0,0）r,^3=（0,0,1,0）r=（0,0,0,l）r是线性空间R4的.一个基，已知7*e的,且T在此基下的矩阵为021-1A=1213255-21-2(1)求ker(T)的基与维数；(2)在ker(T)中选一个基，把它扩充为的一个基.(2010.1A)一、单项选择题(每小题5分，共15分)(1).设A为三阶方阵，将A的第2行•加到第1行•得矩阵B,再将B的第1列的-1‘110、倍加到第2列得矩阵C,记矩阵P二010,则I。01丿(A)C=PlAP.(B)C=PAP~(C)C=PrAP.(D)C=P

9、AP,.【】(2).设有线性方程组⑴：AX=of(ii)：Max=o,则(A)(II)的解是⑴的解,(I)的解也是(II)的解;(B)(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解;(C)(I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解；(D)(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是⑴的解;.【】⑶若/?阶方阵4相似于对角阵，贝9(A)4有〃个不同的特征值；(B)A为实对称阵；(C)A有〃个线性无关的特征向量；(D)r(A)=n.【】二、填空题(每小题5分，共15分)(V1(1).设2=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵-A2的一个特征值(3丿为•(20

10、、(2).矩阵B=I,则二次型f(x)=xrBx的矩阵为・(3).已知77M0是四元方程组人乂二，的三个解，其屮r(A>且a+7；2=(1,2,3,4)7；772+“3=(4,4,4,4)7，则方程组AX=b的通解为三、(12分)证明两直线lxx=y=z-A.l2:-x=y=z异面；求两直线间的距离；并求与厶仏都垂直且相交的直线方程。、(12分)线性方程组A11A11讨论2取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求岀该方程组的结构式通解.已知二次曲面方程F+©2+乙2+2^xy+2xz+2yz=4可经过正交变换Xx'y=pZz'五、(12分).化为

11、柱面方程y,2+4z,2=4,求g"的值及止交矩阵P.六、(12分)<101)0，矩阵X满足ax+/=a2+x，其屮/为三阶单位矩阵,求矩阵X.七、(12分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第⑵题,其余同学做第(1)题)20-1-331-1-2-131-4101V的基与维数.⑵设TwL(R)T在疋的基0=(—1,1,1)',勺=(1,0,—1)丁,乞=(0,1,1)7下的矩阵(1)矩阵A1or11o（-121丿八、（10分）设0,&2,,线性空间V=[bbeF4,方程组ZhFb有解｝求,求丁在基a