高二数学理寒假专题——椭圆苏教版知识精讲(通用).doc

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1、高二数学理寒假专题——椭圆苏教版【本讲教育信息】一.教学内容:寒假专题——椭圆二.教学目标:掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程三.知识要点:1.定义:①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、,即),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)。②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=2a,

8、PM2

9、+

10、PM1

11、=,==e;(2),;(3

12、)

13、BF2

14、=

15、BF1

16、=a,

17、OF1

18、=

19、OF2

20、=c;(4)

21、F1K1

22、=

23、F2K2

24、=p=,3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式和,其中。椭圆的焦点坐标是,准线方程是,离心率是,通径的长是焦准距(焦点到准线的距离),焦参数(通径长的一半)范围:,,长轴长=,短轴长=2b,焦距=2c,焦半径:,。4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c,有关角()结合起来,建立+、等关系。5.椭圆上的点有时常用到三角换元:;【典型例题】例1.已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线。①求椭圆的方程;②设点P

25、在椭圆上,且,求。解:①.②设则又,例2.求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程。解:设椭圆方程,,因为弦AB中点为,所以由得,(点差法)所以,又例3.已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率。分析:求椭圆的离心率,即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值,因此只需把a、c用同一量表示,由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=b。解:设椭圆方程为+=1(a>b>0)

26、,F1(-c,0),c2=a2-b2则P(-c,b),即P(-c,)∵AB∥PO,∴kAB=kOP即-=,∴b=c又∵a==b∴e===点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例4.如下图,设E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ。分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题,设

27、PF1

28、=r1,

29、PF2

30、=r2,则S=r1r2sin2θ。若能消去r1r2,问题即获解决。证明:设

31、PF1

32、=

33、r1,

34、PF2

35、=r2则S=r1r2sin2θ,又

36、F1F2

37、=2c由余弦定理有(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ)于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2所以r1r2=从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ点评:①解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合

38、PF1

39、+

40、PF2

41、=2a来解决。②我们设想点P在E上由A向B运动,由于△PF1F2的底边F1

42、F2为定长,而高逐渐变大,故此时S逐渐变大。所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大。因2θ为三角形内角,故2θ∈(0,π),θ∈(0,).这样,θ也逐渐变大,当P运动到B时,∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题。例5.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程。分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为。OA⊥OB,易得a、b的两个方程。解:设

43、A(x1,y1),B(x2,y2),M(,)由,∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.∴=,=1-=.∴M(,).∵kOM=,∴b=a.①∵OA⊥OB,∴·=-1∴x1x2+y1y2=0∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2)∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-+=∴+=0∴a+b=2.②由①②得a=2(-1),b=2(-1)∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y

44、2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键。【模拟试题】(答题时间:45分钟)1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是()A.8,B.10,C.10,6D.10,82.椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是()A.B.C.D.以上都不对3.P为椭圆上的点,是两焦点,若,则的面积是()A.B

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