高二数学寒假专题：《椭圆》知识精讲

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1、高二数学寒假专题：《椭圆》【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——椭圆二.教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程三.知识要点：1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)。②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=2a，

8、PM2

9、+

10、PM1

11、=，==e；（2），；（3）

12、BF2

13、=

14、

15、BF1

16、=a，

17、OF1

18、=

19、OF2

20、=c；（4）

21、F1K1

22、=

23、F2K2

24、=p=，3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式和，其中。椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c，焦半径：，。4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系。5.椭圆上的点有时常用到三角换元：；【典型例题】例1.已知椭圆的焦点是，直线是椭圆的一条准线。①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上，且，求。解：①.

25、②设则又，例2.求中心在原点，一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程。解：设椭圆方程，，因为弦AB中点为，所以由得，（点差法）所以，又例3.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=b。解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2

26、则P（－c，b），即P（－c，）∵AB∥PO，∴kAB=kOP即－=，∴b=c又∵a==b∴e===点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例4.如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ.求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ。分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设

27、PF1

28、=r1，

29、PF2

30、=r2，则S=r1r2sin2θ。若能消去r1r2，问题即获解决。证明：设

31、PF1

32、=r1，

33、PF2

34、=r2则S=r1r2sin2θ

35、，又

36、F1F2

37、=2c由余弦定理有（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ）于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2所以r1r2=从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ点评：①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合

38、PF1

39、+

40、PF2

41、=2a来解决。②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大。所以当P运动

42、到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大。因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题。例5.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为。OA⊥OB，易得a、b的两个方程。解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）由，∴（a+b）x2－

43、2bx+b－1=0.∴=，=1－=.∴M（，）.∵kOM=，∴b=a.①∵OA⊥OB，∴·=－1∴x1x2+y1y2=0∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2）∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=∴+=0∴a+b=2.②由①②得a=2（－1），b=2（－1）∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。由OA⊥OB得x1x2+

44、y1y2=0是解决本题的关键。【模拟试题】1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4，那么点A到两条准线的距离分别是()A.8，B.10，C.10，6D.10，82.椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是()A.B.C.D.以上都不对3.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（）A.B.C.D.164.椭圆内有一