高中数学 第2章 推理与证明章末分层突破学案 新人教B版选修.doc

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1、第2章推理与证明章末分层突破[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理　③演绎推理　④由一般到特殊　⑤综合法　⑥执果索因⑦反证法　　　　　　　　　　　　　　　归纳推理1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想).2.在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来.　如图21，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到

2、下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是________.图21【精彩点拨】　列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.【规范解答】　前6行中实心圆点的个数依次为：0，1，1，2，3，5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8，13，21，34，55，所以第11行的实心圆点的个数是55.【答案】　55[再练一题]1.(2016·杭州高二检测)记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1，2，3，…时，观察

3、下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，…可以推测，A－B＝________.【导学号：】【解析】　由S1，S2，S3，S4各项系数知，A＝，A＋＋＋B＝1，于是B＝－，所以A－B＝＋＝.【答案】　　类比推理1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.2.平面图形与空间图形类比.平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二

4、面角三角形四面体　已知图22①有面积关系：＝.图22(1)试用类比的思想写出由图22②所得的体积关系＝______________________.(2)证明你的结论是正确的.【精彩点拨】　由面积关系，类比推测＝，然后由体积公式证明.【规范解答】　(1)＝.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO(图略)，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而＝＝＝，∵＝，∴＝.[再练一题]2.在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则＝＋.在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么

5、？并说明理由.【解】　类似的结论是：如图，在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则＝＋＋.证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE.在Rt△ABE中，有＝＋.①又易证CD⊥AE，在Rt△ACD中，＝＋.②将②代入①得＝＋＋.　演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论.演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确.　已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图23所示，求

6、证：l⊥β.图23【精彩点拨】　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明.【规范解答】　在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α＝a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提所以a∥b.结论②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提且l⊥α，a⊂α，小前提所以l⊥a.结论③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提a∥b，且l⊥a，小前提所以l⊥b.结论④如果一条直线和一个

7、平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提所以l⊥β.结论[再练一题]3.如图24，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点.图24求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)【证明】　三角形中位线平行于底边，大前提∵M，N分别为AB与AD的中点，∴MN为△ABD的中位线.小前提∴MN∥BD.结论又平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，大前提∵MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，MN∥BD，小前提∴MN∥平面BCD.结论

8、　直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开