高中数学 第二章 推理与证明章末分层突破学案 新人教B版选修.doc

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1、第二章推理与证明[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法　合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤　观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，由此可归纳出的式子为(　　)A．1＋＋＋…＋

2、点拨】　(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得．(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】　(1)由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sinα＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sinα＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为

3、＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.【答案】　(1)C　(2)sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0[再练一题]1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则(1)函数y＝sin6x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________.【导学号：】【解析】　(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2

4、x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x∈.(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．【答案】　(1)　(2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点

5、．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】　(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．(2)分析法：把变形为＝＋求证．【规范解答】　法一：(综合法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二：(分析法)∵a>0，b>0，a＋b＝1

6、，要证＋＋≥8，只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立．[再练一题]2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.【解】　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，ab＋ac≥2，又a，b，c为互不相等的非

7、负数，所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，所以a2＋b2＋c2>(＋＋)．(2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ＝右边，所以①成立，即原等式成立．反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成

8、立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．　设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证