高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性教学案 北师大版选修.doc

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1、1．1　导数与函数的单调性已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，(4)y4＝x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logx.问题1：求上面六个函数的导数．提示：(1)y′1＝2，(2)y′2＝－1，(3)y′3＝2xln2，(4)y′4＝xln＝－2xln2，(5)y′5＝，(6)y′6＝＝－.问题2：试判断所求导数的符号．提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．问题3：试判断上面六个函数的单调性．提示：(1)(3)(5)在定义域上是增

2、加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)为减少的．函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)＞0增加f′(x)＜0减少f′(x)＝0常数函数(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f′(x)＝0，而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)仍为增加的(或减少的)，例如函数y＝x3，x∈R，

3、则f′(x)＝3x2，尽管当x＝0时，f′(x)＝0，但该函数y＝x3在R上仍为增加的．(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．判断或证明函数的单调性[例1]　证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．[思路点拨]　要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．[精解详析]　由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝，由于0

4、0，即函数在区间(0,2)上是增加的．[一点通]　利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是(　　)A．y＝sinx　　　　　　　　B．y＝x·exC．y＝x3－xD.y＝lnx－x解析：(sinx)′＝cosx，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(lnx－x

5、)′＝－1，当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0.答案：B2.证明函数f(x)＝x＋在(0,1]上是减少的．证明：∵f′(x)＝1－＝，又∵x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有x＝1时等号成立)，∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上为减少的．3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性．解：∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备

6、单调性.求函数的单调区间[例2]　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；　(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2.[精解详析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e

7、x>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．当00，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．[一点通]　利用导数求函数f

8、(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.但要特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式．4．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为________．解析：当－1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0，可得递增区间为[－1,0]和[2，＋∞)．答案：[－1,0]和[2，＋∞)5．函数y＝x2－lnx的单调递