高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学案(含解析)新人教A版选修.doc

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1、2.2.1　综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2．必修五中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？答　要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导

2、引]1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一　综合法的应用例1　在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π

3、.②由①②，得B＝.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．规律方法　利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之

4、间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明　法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0，∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．要点二　分析法的应用例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．证明　当a＋b≤0

5、时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．规律方法　用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需

6、证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2　已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.证明　要证＋≥＋，只要证a＋b≥·(＋)．即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，因为a，b是正实数，即证a＋b－≥，也就是要证a＋b≥2，即(－)2≥0.该式显然成立，所以＋≥＋.要点三　综合法和分析法的综合应用例3　已知a、b、c是不全相等的正数，且0

7、>abc.由公式≥>0，≥>0，≥>0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴··>＝abc.即··>abc成立．∴logx＋logx＋logx

8、证明　由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy.由①②