定积分的微元分析法.ppt

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1、定积分应用定积分的微元分析法用定积分表示的量U必须具备三个特征:一.能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)部分量的近似值可表示为二.微元分析法则U相应地分成许多部分量;用定积分表示量U的基本步骤:(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)U对于区间[a,b]具有可加性.即如果把区[a,b]分成许多部分区间,1根据问题的具体情况,选取一个变量(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量的近似值.在处的值与的乘积,就把称为量U的微元且记作,即如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,

2、b];2(3)以所求量U的微元为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得平面图形的面积一直角坐标情形1.曲边梯形当f(x)在[a,b]上连续时,由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积就是32.一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数在[a,b]上连续,且则介于两条曲线4注意:根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1求椭圆的面积(如图).解由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为5则例2求由所围图形面积.解两抛物线的交点为(0,0)及(

3、1,1).取x为积分变量,其变化区间为[0,1].由前面讨论可知:(1,1)oyx6例3求由所围图形面积.解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积7二.极坐标情形1.曲边扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.相应于[,+d]的面积微元为则图形面积为or=r()设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.取为积分变量,其变化区间为[,],82.一般图形及射线=,=所围图形的面积微元为则面积为o相

4、应于从0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.解如图,可视为=0,=2及r=a围成的曲边扇形.则其面积为o由曲线例4求阿基米德螺线r=a(a>0)上9NoM例5求r=1与r=1+cos所围公共面积.解如图,曲线交点为由对称性则而10三.参数方程情形当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t),且()=a,()=b,在[,]上(t)有连续导数,(t)连续,则曲边梯形面积面积为在例1中,若采用椭圆的参数方程则11