利用二次函数求几何面积的最值问题教案与例题.doc

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1、第1课时利用二次函数求几何面积的最值问题1.二次函数的最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题．画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．因此，当t＝时，h有最大值也就是说，小球运动的时间是3s时，

2、小球最高．小球运动中的最大高度是45m.一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值。例题：1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为（B）A.2B.4C.-4D.162．已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是（B）A.-6B.-2.5C.2D．不能确定3．已知y＝－x（x＋3－a）＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值情况是（D）A.a=9B.a=5C．

3、a≤9D．a≤54．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是-≤y≤21.5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是－4≤m≤－2.2.几何面积的最值问题：总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？解：矩形场地的周长是60m，一边长为lm，所以另一边长为m．场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l(0

4、地的面积S最大．在周长一定的情况下，所围成的几何图形的形状不同，所得到的几何图形的面积也不同.利用二次函数求几何图形的最大（小）面积的一般步骤：（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求问题相关的量.（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.例题：1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（B）A．25cm2B．50cm2C．100cm2D．不确定2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a

5、的值不可能为（D）A.20B.40C.100D.1203．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE的长，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（A）A．AD的中点B.AE:ED=(-1):2C.AE:ED=:1D.AE:ED=(-1):24．（2016・兰州)某农场拟建三间长方形种牛饲养室饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2．5．

6、如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分別以AD，DC，CB为边作正方形，则当AC＝4时，三个正方形的面积之和最小。6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm点P从点A开始沿AB向B以2cm／s的速度移动点Q从点B开始沿BC向C以1cm／s的速度移动,如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为2s.7.［2016・内江]某中学课外兴趣活动小组准备围建个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为

7、xm．（1）若苗圃园的面积为72m2，求x（2）若平行于墙的一边长不小于8m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．（3）当这个苗圃园的面积不小于100m2时，直接写出x的取值范围．解：（1）根据题意得（30－2x）x＝72解得x1＝3，x2＝12∵0＜30－2x≤18，x＞0∴6≤x＜15．∴x＝12．（2）有最大值和最小值．设苗圃园的面积为ym2，∴y＝x（30－2x）＝－2x2＋30x．由题意知8≤30－2x≤18，x＞0，解得6≤x≤11．∵a=-2＜0，-=-=.∴当x＝时，

8、y有最大值，y最大值＝112．5．当x＝11时，y有最小值，y最小值＝88.即这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为112．5m2，最小值为88m2.（3）6≤x≤10．考查角度1利用二次函数解决实际中围成面积的最值问题1.［20