2019年高考数学总复习检测第48讲　空间几何体的表面积与体积.pdf

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1、第48讲　空间几何体的表面积与体积1．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)ππA.＋1B.＋3223π3πC.＋1D.＋322由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，所以该几何体的体积1111πV＝×π×12×3＋××2×2×3＝＋1.323222．(2015·新课标卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内

2、角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛π16设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，2π11π16320320所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝×()2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有4312π99÷1.62≈22(斛)．3．(2018·河北五校高

3、三联考)已知几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)4A．1B.35C.D．23将三视图还原为直观图，如图1.图1由直观图可知，该几何体是一个组合体，将该组合体分割成两个几何体，如图2.图2　　其中EAGHD为四棱锥，EGHFBC为三棱柱．12四棱锥EAGHD是底面边长分别为1,2的矩形，高为1，其体积V1＝×1×2×1＝.33三棱柱EGHFBC为斜三棱柱，此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E′GHF′BC，如图3.图31此棱柱的体积V2＝×2×1×1＝1.25所以所求几何体的体积V＝V1＋V2＝.34．已

4、知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离1为R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为(D)21616A.πB.π936464C.πD.π93在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，AC由正弦定理得＝2r(r为△ABC的外接圆半径)，sin∠ABC2即2r＝＝4，所以r＝2.sin30°R因为R2＝r2＋h2，又因为h＝，2R216所以R2＝4＋，解得R2＝，4364π所以球O的表面积为S＝4πR2＝.35．(2016·浙江

5、卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3.由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，9则这个球的体积为π.2设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝3.设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2

6、＝3，34439所以R＝.故球的体积V＝πR3＝π×()3＝π.233227．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．如图，正三棱锥SABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高，连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，32所以AE＝×6＝33，所以AH＝AE＝23，2311在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×33＝93.22在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，所以SH＝SA2－AH2＝15－

7、12＝3，11所以V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×93×3＝9.338．(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)12A.＋πB.＋π3312C.＋2πD.＋2π33由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三11111棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，所以V＝＋π.3232319．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何4π体的体积为2＋　.21该几何体由一个长、宽、高分别

8、为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆4柱体构成，1π所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.4210．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．4(1)球的体积V球＝πr3＝36π，3圆柱的体积V圆柱＝Sh1＝64π，1正四棱台的体积是V正四棱台＝h2(S上＋S下＋S上·S下)＝336，3所以此几何体的体积是V＝100π＋33