高等数学PPT§1.3 函数的极限课件.ppt

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1、小结思考题作业函数极限的性质函数在无穷远点的极限函数在一点的极限§1.4函数的极限对于数列,即整标函数其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数来说,有:第一章函数与极限1函数与极限一、函数在无穷远点(infinitepoint)的极限以下分别用记号x趋向于负无穷x趋向于无穷函数的极限x趋向于正无穷2如果当

2、x

3、无限增大时f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为1.自变量趋于无穷大时函数的极限类似定义3如果在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数,则称:在x的该种趋向下例当

4、x

5、无限增大时,都不无限接近一个常数,因

6、此都不存在.函数的极限不存在.4用数学语言刻划问题表示表示无限增大.1.定义定义1记作或无限接近、5分析例证明0X0当

7、x

8、X时有

9、f(x)A

10、62.另两种情形函数的极限7解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.例讨论极限是否存在?函数的极限Axfx=-¥®)(lim8二、函数在一点(one-point)的极限91.定义定义2设函数有定义.记作或函数的极限恒有在点x0某去心邻域内10证明证由于要使解出只要可取有解不等式,例11必存在x0的去心邻域对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域1

11、23.左、右极限(单侧极限)例如,函数的极限两种情况分别讨论!13左极限右极限使得时,或使得时,或或或函数的极限14注且性质常用于判断分段函数当x趋近于函数的极限分段点时的极限.15试证函数证左、右极限不相等,故例函数的极限16左、右极限存在,证故极限不存在.例函数的极限但不相等,讨论的存在性.xxx-=-®0lim17练习设函数答案总结一下x的趋向一共有六种:函数的极限18函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在上有界;f(x)有

12、极限,且证明方法也类似.三、函数极限的性质19定理3(局部保号性)证(1)设A>0,取正数即有自己证20注以上定理也适用于其它极限过程等(包括单侧极限),其结论只需根椐其极限过程,的自变量范围.改动使不等式成立和函数的极限211.函数极限的或定义;2.函数极限的性质局部保号性;函数的极限四、小结唯一性;局部有界性;函数极限与数列极限的关系;3.函数的左右极限判定极限的存在性.22思考题(A)先给定后唯一确定;极限定义中与的关系是().(C)先确定后给定;(D)与无关.B(1)(B)先确定后确定,但的值不唯一;函数的极限23(2)如果与存在,则().(

13、B)存在但不一定有(C)不一定存在;(D)一定不存在.(A)存在且C函数的极限24(3)试证[提示]仅需在附近讨论问题,如限定即限定在范围内讨论问题.这时函数的极限25作业习题1-3(37页)1.(1)(3)2.(2)5.6函数的极限26