医学高等数学1.2函数的极限ppt课件.ppt

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1、医学高等数学回顾上节课内容：函数的概念函数的特性初等函数（复合函数）分段函数和反函数1.2函数的极限1.2.1数列极限1.2.2函数极限1.2.3无穷小量1.2.4极限的运算1.2.5无穷小量的比较1.2函数的极限(limit)极限是描述在自变量的某个变化过程中，对应函数（因变量）的变化趋势——是否接近某一数。极限在高等数学中至关重要，许多概念如连续、导数、定积分和级数都是以极限为基础的，它基本上贯穿整个医学高等数学的内容对圆作内接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、···这样继续循此下去，所得正多边形的面积就无限接近于圆的面积.割之弥细，所失弥少

2、，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.刘徽割圆术刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:引例设有半径为r的圆,An逼近圆面积S如图所示,可知当n无限增大时,An无限逼近S用其内接正n边形的面积1.2.1数列极限自变量1,2,3,…函数值称为数列,记为

3、。数列是自变量为n的函数:数列的极限：当n越来越大时（n→∞)，数列是否越来越接近于某个常数(xn→a)自变量n→∞数列单调下降→00n0n自变量n→∞数列单调上升→10n1自变量n→∞数列跳跃→1●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！1011121314151617181920211-10自变量n→∞数列不趋向于任何数n对于数列，如果当n无限增大时，对应的无限接近某一个确定常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为否则称数列发散【定义5】趋势不定收敛发散解：2，4，8，…，n→∞时，数列的数值无限增大，不趋向于一个

4、确定的常数，所以数列是发散的例5讨论数列　　　的极限。如果

5、a

6、<1，则an极限存在且为0如果分子k是常数，分母L当n→∞时为无穷大，则几种常见的极限为什么要研究极限？问题：怎样计算圆的面积？如何求无限多项的和？将圆n等分，n个内接三角形面积之和为圆面积近似值，n越大，误差越小，n越来越大时，其和的变化趋势即为圆的面积：应用一：求圆面积a1+a2+…+an+…应用二:无限多项的和如果n→∞时，数列{Sn}极限存在为A，则无限项和a1+a2+…+an+…存在，且等于A；否则不存在Sn=a1+a2+…+an先求有限项和1.2.2函数极限数列可表示成函数的形

7、式：此时，自变量的变化趋势只有一种：自变量变化过程的六种形式:对一般的函数而言一、时，函数f(x)的极限注:y=0为的水平渐近线引例类比数列n→∞时，···0.000010.00010.0010.010.11y···100000100001000100101x如果当x绝对值无限增大(记为)时，所对应的函数f(x)值无限趋近于某一个确定的常数A，则称A为函数的极限记为或【定义6】直线y=A为曲线的水平渐近线几何意义:几何意义：只要x绝对值充分大，曲线y=f(x)和直线y=A任意接近注意:有时需要分开考虑y=2-x:如又如：都有水平渐近线f(x)及g(x)

8、都有水平渐近线再如：三种极限小结：不存在二、时，函数f(x)的极限邻域:设x0是实数轴上一点，δ为正实数，则适合开区间x0-δ

9、限记为类似可以定义右极限，记为当x→x0时，0<

10、x-x0

11、<δ如果仅考虑一侧当时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是函数f(x)的左右极限同时存在且相等定理极限存在即如果函数f(x)的左右极限至少有一个不存在或这两个极限都存在但不相等，这时函数f(x)的极限就不存在极限不存在三个极限的关系例6设函数试讨论f(x)当x→0时的极限解：所以函数f(x)在点0极限不存在。但函数值在点0存在。极限值与函数值无关！-11求limf(x)就是问：对x的某个变化过程，f(x)是否和某个数无限接近，与函数值无关！极限与自变量变化过程有关x→0时sinx→0x→π/

12、2时sinx→1x→∞时sinx极限不存在lim是指以下6种情况中的任一种常数的极限是这个常数