相似矩阵及二次型习题课件.ppt

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1、第五章习题课一、向量内积的定义及运算规律定义:设有n维向量记[x,y]=x1y1+x2y2+···+xnyn,称[x,y]为向量x与y的内积.[x,y]=xTy.内积的运算性质设x,y,z为n维向量,为实数,则(1)[x,y]=[y,x];(2)[x,y]=[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)[x,x]0,当且仅当x=0时有[x,x]=0.二、向量的长度及性质称

2、

3、x

4、

5、为n维向量x的长度(或范数).定义:令向量的长度具有下述性质:(1)非负性:

6、

7、x

8、

9、0,当且仅当x=0时有

10、

11、x

12、

13、=0;(2)

14、齐次性:

15、

16、x

17、

18、=

19、

20、

21、

22、x

23、

24、;(3)三角不等式:

25、

26、x+y

27、

28、

29、

30、x

31、

32、+

33、

34、y

35、

36、.单位向量及n维向量间的夹角(1)当

37、

38、x

39、

40、=1时,称x为单位向量.(2)当

41、

42、x

43、

44、0,

45、

46、y

47、

48、0时,称为n维向量x与y的夹角.三、正交向量组的概念及求法1.正交的概念2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.由定义知,若x=0,则x与任何向量都正交.3.正交向量组的性质定理1:若向量组1,2,···,r是n维正交向量组,则1,2,···,r线性无

49、关.定义:设n维向量组e1,e2,···,en是向量空间VRn的一组正交基,且都是单位向量,则称e1,e2,···,en是向量空间V的一组规范正交基.若e1,e2,···,er是向量空间VRn的一组规范正交基,则对任意的aV,都有:a=1e1+2e2+···+rer其中i=[erT,a]=erTa,(i=1,2,···,r)4.求规范正交基的方法(1)正交化(施密特正交化过程)设a1,a2,···,ar是向量空间V的一组基.··················取b1=a1,则b1,b2,···,br两两正交,且b1,b2,

50、···,br与a1,a2,···,ar等价.(2)单位化,取则e1,e2,···,en是向量空间V的一组规范正交基.四、正交矩阵与正交变换定理:A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交.若n阶方阵A满足ATA=E,即A-1=AT,则称A为正交矩阵.正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基.性质:正交变换保持向量的长度不变.定义:若P为正交阵,则线性变换y=Px称为正交变换.即五、特征值与特征向量的概念定义:设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x成立,那末这样的数称为方阵A的特征

51、值,非零向量x称为的对应于特征值的特征向量.称以为未知数的一元n次方程

52、A–E

53、=0为方阵A的特征方程.记f()=

54、A–E

55、,它是的n次多项式,称其为方阵A的特征多项式.设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,···,n,则有:(1)1+2+···+n=a11+a22+···+ann;(2)12···n=

56、A

57、.六、有关特征值,特征向量的一些结论若是矩阵A的特征值,则(1)是矩阵AT的特征值,(2)m是矩阵Am的特征值(m为正整数);(3)当A可逆时,则-1是逆阵A-1的特征值.还可以类推:若是

58、矩阵A的特征值,则()是矩阵多项式(A)的特征值,其中()=a0+a1+···+amm,(A)=a0E+a1A+···+amAm.定理:设p1,p2,···,pm是方阵A的分别对应于m个互不相等的特征值1,2,···,m的m个特征向量,则p1,p2,···,pm线性无关.注意2:属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;注意3:矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一,但一个特征向量不能属于两个不同的特征值.注意1:属于不同特征值的特征向量是线性无关的;七

59、、相似矩阵定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P-1AP,称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.定理1:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.推论:若n阶方阵A与对角阵=diag(1,2,···,n)相似,则1,2,···,n既是A的n个特征值.相似矩阵的性质:1.相似矩阵是等价的:(1)自反性;(2)对称性;(3)传递性.3.P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P).4

60、.若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数).2.P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中k1,k2是任意常数(A)=a0PP-1+a1PBP-1+···+amPBmP-