量子力学基础 课件.ppt

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1、第十六章量子力学基础南京信息工程大学§16-1波函数及其统计诠释量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的,具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。或概率密度为波函数是单值的、连续的和有限的。波函数允许包含一个任意的常数因子。归一化条件微观粒子的概率波的波函数是，那么概率正比于波函数和A(A是常数)描述了同一个量子态

2、，对于空间任意两点和有态叠加原理（一个基本假设）如果波函数,,…都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能的量子态。宇称：是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。偶宇称(或正宇称)奇宇称(或负宇称)例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。解:体积元内的概率为该薄层中发现粒子的概率例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿过狭缝A到达屏上任意一点P的状态为1，后将狭缝A遮盖，电子穿过狭缝B到达屏上任意一点的P状态为2。求将两狭缝打开，电子同

3、时穿过A和B两个狭缝到达屏上点P的概率密度。解:由线性叠加，得屏上点P发现电子的概率密度为§16-2薛定谔方程一、含时薛定谔方程自由粒子的平面波函数为根据德布罗意关系式，得将上两式代入前式，得将平面波函数对时间微商,得二次微商，得式中2称为拉普拉斯算符。根据上式和上述等价关系，得Ep2或者p自由粒子的动能与动量关系为由上两式得到等价关系为粒子处于力场中时，有所以薛定谔方程二、定态薛定谔方程因势场只是坐标的函数，所以有将上式代入薛定谔方程，得由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。方程1:其解为方程2:定态薛定谔方程特解为概率密度分布为三、概率守恒和

4、概率流密度矢量概率密度随时间的变化为将薛定谔方程及其共轭方程代入上式，并利用公式得令将上式代入前式，得概率守恒的微分形式将上式积分，再利用高斯定理，得概率守恒的积分形式此式表明：在空间某体积V内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内通过V的边界面S流入体积V的概率。§15-3力学量的算符表示和平均值一、力学量的算符表示量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。与动量相对应的算符动量分量的算符与动量平方相对应的算符是与能量相对应的算符称为哈密顿算符角动量算符为直角坐标系中的分量式球坐标系中的分量式角动量平方算符为式中算符角动量平方算符也可以表示

5、为二、本征函数、本征值和平均值算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数或量子态变换成另一个波函数或量子态。此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量的本征值。引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下式计算§16-3一维势阱和势垒问题一、一维无限深方势阱对于一维无限深方势阱有∞0aU(x)∞势阱内U(x)=0，哈密顿算符为定态薛定谔方程为令薛定谔方程的解为根据，可以确定=0或m，m=1,2,3,。于是上式改写为根据，得ka=n，n=1,2,3,…因为当n=0时，必定k=0，定态薛定谔方程应有解得(x)

6、Cx+D所以由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。基态的能量为零点能与能量本征值En相对应的本征函数n(x)为利用归一化条件，得归一化波函数为一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级二、势垒穿透和隧道效应有限高的势垒在P区和S区薛定谔方程的形式为其中在Q区粒子应满足下面的方程式式中用分离变量法求解，得(P区)(Q区)(S区)在P区，势垒反射系数在Q区，势垒透射系数粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。隧道效应的应用：扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管例

7、1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面正交性的性质：即不同能级的波函数互相正交。解:波函数取其复共轭相乘并积分，得把波函数的正交性和归一性表示在一起，其中当m=n时,mn=1当mn时,mn=0mn称为克罗内克符号。§16-4一维谐振子问题一、一维谐振子的定态薛定谔方程经典力学中，简谐振动为系统的势能为简谐振子的能量为将势能形式代入定态薛定谔方程，得令将变量x变换为所以求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。二、一维谐振子的本征函数和能量本征值波函数的一般形式为或者式中Hn()称为厄米多项式，具体

8、形式为由此得出n=0,1