圆锥曲线常用结论总结.pdf

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1、圆锥曲线及其常用结论1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点F、F的距离的和等于常数2a（大于

2、FF

3、）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1212的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有

4、MF

5、

6、MF

7、2a。122222xyyx椭圆的标准方程为：1（ab0）（焦点在x轴上）或1（ab0）（焦点在y轴2222abab上）。222注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中bac；2222xyyx22②在1和1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置

8、，只要看x和y的分2222abab22xy母的大小。例如椭圆1（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时mn表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质22xy①范围：由标准方程1知

9、x

10、a，

11、y

12、b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；22ab②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲

13、线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，则B(0,b)，B(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A(a,0)，121A(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。2所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段AA、BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分

14、别叫做椭圆的长1212第1页共12页半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOBF中，

15、OB

16、b，

17、OF

18、c，

19、BF

20、a，222222222222且

21、OF

22、

23、BF

24、

25、OB

26、，即cab；2222c④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时222椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程

27、为xya。2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（

28、

29、PF

30、

31、PF

32、

33、2a）。12注意：①式中是差的绝对值，在02a

34、FF

35、条件下；

36、PF

37、

38、PF

39、2a时为双曲线的一支；1212

40、PF

41、

42、PF

43、2a时为双曲线的另一支（含F的一支）；②当2a

44、FF

45、时，

46、

47、PF

48、

49、PF

50、

51、2a表示两条射2111212线；③当2a

52、FF

53、时，

54、

55、PF

56、

57、PF

58、

59、2a不表示任何图形；④两定点F,F叫做双曲线的焦点，

60、FF

61、叫做12121212焦距。（2）双

62、曲线的性质22xy①范围：从标准方程1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即22ab22xa，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。22xy②对称性：双曲线1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点22ab22xy是双曲线1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。22ab22xy③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1的方程里，对称轴是x,y轴，所22ab22xy以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A(a,

63、0)A(a,0)，他们是双曲线1的顶点。222ab令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个第2页共12页端点。2）实轴：线段AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB叫做双22曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从22xy图上看，双曲线1的各支向外延伸时，与这两条直

64、线逐渐接近。22ab⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。223）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：xy(0)，当0时交点在x轴，当