高考数学专题复习教案： 函数与方程备考策略.doc

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1、函数与方程备考策略主标题：函数与方程备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：零点，零点存在性定理，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一　函数零点的求解与判断【例1】(1)设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于(　　)．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝的零点个数是________．解析　(1)令f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3＜0，f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，∴x0∈(2,3)．(2)当x＞0时，令g(x)＝lnx，h(x)＝x2－2x.画出g(x

2、)与h(x)的图象如图：故当x＞0时，f(x)有2个零点．当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3.答案　(1)C　(2)3【备考策略】(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考点二　根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知

3、函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解　(1)法一　∵x＞0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．∴m的取值范围是[2e，＋∞)．法二　作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.∴m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交

4、点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．【备考策略】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．考点三　与二次函数

5、有关的零点分布【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．审题路线　由f(x)在[－1,3]上只有一个零点⇔f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根⇒计算知Δ＞0恒成立⇒令f(－1)·f(3)≤0⇒求出a的范围⇒对端点值检验⇒得出结论．解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋

6、a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．【备考策略】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(

7、3)利用二次函数的图象列不等式组．考点四函数的零点与函数极值点的交汇【典例】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为(　　)．A．3B．4C．5D．6突破：条件“函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2”等价于“方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2”；条件：“若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2