实变函数期末复习指导.doc

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1、实变函数期末复习指导（文本）实变函数题型比例单选题：5题，每题4分，共20分。填空题：5题，每题4分，共20分。计算与证明题：4题，每题15分，共60分。第1章主要内容本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分.主要内容有：一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，当且仅当时必有．有时也利用它的等价形式：当且仅当时必有．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．当且仅当x属

2、于这一列集合中的“某一个”（即存在某个，使），而当且仅当x属于这一列集合中的“每一个”（即对每个，都有）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能.读者要多做些这方面的练习．二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系．对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证，已知，此时只须证；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集

3、中基数最小者.要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.一、本章我们从中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图示如下：其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要

4、熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖

5、定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容本章主要讨论中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在

6、后面的学习中会时常用到．三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容.勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8).我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、型集和型集之间的关系.这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用

7、上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容.可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一.几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系.通过这个定理，可

8、以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的