实变函数复习

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1、5675实变函数期末复习(2014.1)一、选择题1、下列各式正确的是()ooOO(A)limA=unA；h—><*>n=lk-n(C)limA=nuA■z?=lk=ttoooo(B)lirn=nuAk:zt—><»zj=1k=n(D)limAzz=nnAk:n—>cozi=lk=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是()(A)~P=c(B)mP=Q(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设｛/„(叫是£上的e

2、有限的可测函数列，则下面不成立的是()(A)若人⑺二/⑺，贝IJ人⑺4/(x)(B)sup｛/„(x)｝是可测函数H(C)iijf｛//x)｝是可测函数；(D)若乂U)=>/Cr)，则/(X)可测5、设f(x)是［«，糾上有界变差函数，则下面不成立的是()(A)/⑺在上有界(B)/⑺在Uz，/?j上几乎处处存在导数(C)/⑺在［0］上L可积(D)£/’⑺办=/0)-/⑻6、设A/，；V是两集合，则()(A)M(B)N(C)MnN(D)07.下列说法不正确的是()(A)A的任一领域内都有£中无穷多个点，则6是£的聚点(B)P0的任一领域内至

3、少有一个£中异于P0的点，则/>0是£的聚点(A)存在£中点列RJ，使/H，则忍是£的聚点(B)内点必是聚点7.下列断言()是正确的。(A)任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；8.下列断言中()是错误的。(A)零测集是可测集；(B)可数个零测集的并是零测集；(C)任意个零测集的并是零测集；(D)零测集的任意子集是可测集；9.若/(x)是可测函数，则下列断言()是正确的(A)/(%)在[«，/?]L-可积<=>

4、/(x)

5、在[a，Z?]L-可积;(B)/(X)在[67,/?]/?-

6、口J‘积<=>

7、/(X)

8、在[“，/?]/?-可釈(C)/(X)在[6Z,/?]/.-可积/(X)I在[6Z，/?]/?-可积；(D)/(X)在(《，+oo)/?-广义可积、4/O)在(a,+00)1-可积10.设=[丄，2+(-1)%"=1，2<..，贝0()n(A)limA,,=[0,1](B)limAM=(0,1]/J—>oo/J一(C)liniA,=(0,3]H—(D)limAw=(0,3)12、设£是咏1]上有理点全体，则下列各式不成立的()(A)E=[0,I](B)E=0(C)£=[0,1](D)mE=113、下列说法不正确的

9、是()(A)若Acfi，则(B)存限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测(D)凡幵集、闭集皆可测14、设｛£„｝是一列可测集，]£2]且"屯<+00，则有()(A)45e，!oo=WramEn00(C)mn£

10、(A)/(X)在［6z，/)l上L可积(B)/(x)在［(/,/?］上/?可釈(C)，⑴在k，Z?j上L可积(D)/⑺在上绝对连续17.设/(x)在£上［可积，则下面不成立的是()(A)/(%)在£上可测(B)/(%)在£上&e.有限(C)/⑺在£上有界(D)f(x)在£上L可积二、填空题1、(CvAuCvB)n(A-(A-B))=2、设£是［0，1］上右理点全体，贝lj£’=,E=,E=.3、设£是/?。中点集，如果对任一点集：T都，则称£是1可测的。4、/Cr)可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要'“

11、充要”)5、设/U)为卜，叫上的有限函数，如果对于的一切分划，使，则称/⑴为上的有界变差函数。6、设A"=［—，2—］，"=1，2,…，则limA"=。A277?:—><»7、设P为Cantor集，贝!］尸=，mP=,P-。8、设⑻是一列可测集，贝iJmpS门XmSiv=17/=i9、鲁津定理：三、解答题.1、设=为无理数，则，⑺在［0，1］上是否/?-可积，是否L-可积，若可积，1，X为有理数求出积分值。2、求limI*ln(X+")fcosxdx”Jon3、设，W=，则，(%)在［0,1］上是否/?-可积，是否L-可积，若可积，为有理

12、数求出积分值。4、求极限limf1—sin3nxdx.n^°°J01+n~x~四、证明1、试证(0，l)〜［O，1J2、设f(x)是(-oo，+oo)上的实值连续函数，则对任意常数c,E={x