高数之重积分 (4).pdf

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1、§9．2二重积分的计算法§94重积分的应用元素法的推广有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理这种元素法也可推广到二重积分的应用中如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说当闭区域D分成许多小闭区域时所求量U相应地分成许多部分量且U等于部分量之和)并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时相应的部分量可近似地表示为f(xy)d的形式其中(xy)在d内则称f(xy)d为所求量U的元素记为dU以它为被积表达式在闭区域D上积分Uf(x,y)dD这就是所求

2、量的积分表达式一、曲面的面积设曲面S由方程zf(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影区域函数f(xy)在D上具有连续偏导数f(xy)和f(xy)现求曲面的面积Axy在区域D内任取一点P(xy)并在区域D内取一包含点P(xy)的小闭区域d其面积也记为d在曲面S上点M(xyf(xy))处做曲面S的切平面T再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为则

3、ddA1f2(x,y)f2(x,y)dcosxy这就是曲面S的面积元素于是曲面S的面积为A1f2(x,y)f2(x,y)dxyDzz或A1()2()2dxdyxyD设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(ff1)所以xydA

4、n

5、d1f2(x,y)f2(x,y)dxy提示dA与xOy面的夹角为(n^k)dAcos(n^k)dn

6、k

7、n

8、cos(n^k)1cos(n^k)

9、n

10、1讨论若曲面方程为xg(yz)或yh(zx)则曲面的面积如何求？1§9．2二重积分的计算法xxA1()2()2dydzyzDyzyy或A1()2()2dzdxzxDzx其中D是曲面在yOz面上的投影区域D是曲面在zOx面上的投影区域yzzx例1求半径为R的球的表面积解上半球面方程为zR2x2y2x2y2R2因为z对x和对y的偏导数在Dx2y2R2上无界所以上半球面面积不能直接

11、求出因此先求在区域Dx2y2a2(aR)上的部分球面面积然后取极限1RdxdyR2dardrR2x2y200R2r2x2y2a22R(RR2a2)于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2aR整个球面面积为A2A4R21提示zxzyzzR1()2()2xR2x2y2yR2x2y2xyR2x2y2解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为zR2x2y2而zxzy

12、xR2x2y2yR2x2y2所以A21(z)2(z)2xyx2y2R2R2Rd2dxdy2RdR2x2y200R22x2y2R2R4RR224R20例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h36000km运行的角速度与地球自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)2§9．2二重积分的计算法解取地心为坐标原点地心到通讯卫星中心的连线为z轴建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面是上

13、半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分的方程为zR2x2y2x2y2R2sin2于是通讯卫星的覆盖面积为zzRA1()2()2dxdydxdyxyR2x2y2DDxyxy其中D{(xy)

14、x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域xy利用极坐标得2RsinRRsinAdd2Rd2R2(1cos)00R220R22R由于cos代入上式得RhRhA2R2(1)2R2RhRh由此得

15、这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为Ah3610642.5%4R22(Rh)2(366.4)1062由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔角3度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面二、质心设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上