导数与函数的零点专题.doc

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1、导数与函数的零点专题考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

2、－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．【训练1】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f

3、(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【训练2】已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．考点三　函数零点的综合问题【例3】设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.【训练3】(2019·天津和平区调研)已知函数f(x)＝lnx－x－m(m<－2，m为常数)．(1)求函数f(x)在的最小值；

4、(2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x1

5、AB

6、的最小值为________.3.若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为_____

7、___.三、解答题4.(2019·保定调研)已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围.5.设函数f(x)＝lnx＋(m>0)，讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.【能力提升题组】(建议用时：25分钟)6.(2018·江苏卷改编)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和.7.已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递增区间；(

8、2)当0<－

9、f(x)

10、＝＋是否有实数根.答案【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

11、－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．【答案】见解析【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

12、－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝

13、1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当03时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．【规律方法】　

14、利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．【训练1】已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函