二项式定理题型及解法.doc

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1、二项式定理题型及解法1.二项式定理:,2.基本概念:①二项式展开式:右边的多项式叫做的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数.③项数:共项,是关于与的齐次多项式④通项:展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3.注意关键点:①项数:展开式中总共有项。②顺序:注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。③指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项增到,是升幂排列。各项的次数和等于.④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。4.常用的结论:令令5.性质:

2、①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,···②二项式系数和:令,则二项式系数的和为,变形式。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令,则,从而得到:④奇数项的系数和与偶数项的系数和:⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。⑥系数的最大项:求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别-6-为,设第项系数最大,应有,从而解出来。6.二项式定理的

3、十一种考题的解法:【题型一:二项式定理的逆用】【例1】:解:与已知的有一些差距,【练1】:解:设,则【题型二:利用通项公式求的系数】【例2】:在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?解:由条件知,即,,解得,由,由题意,则含有的项是第项,系数为。【练2】:求展开式中的系数?解:,令,则故的系数为。【题型三:利用通项公式求常数项】【例3】:求二项式的展开式中的常数项?解:,令,得,所以【练3】:求二项式的展开式中的常数项?解:,令,得,所以【练4】:若的二项展开式中第项为常数项,则解:,令,得.-6-【题型四

4、:利用通项公式,再讨论而确定有理数项】【例4】:求二项式展开式中的有理项?解:,令,()得,所以当时,,,当时,,。【题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例5】:若展开式中偶数项系数和为,求.解:设展开式中各项系数依次设为,则有①,,则有②将①-②得:有题意得,,。【练5】:若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项。解:,,解得所以中间两个项分别为,,【题型六:最大系数,最大项】【例6】:已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?解:解出,

5、当时,展开式中二项式系数最大的项是,当时,展开式中二项式系数最大的项是,。【练6】:在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?解:二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。【练7】:在的展开式中,只有第项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?解:只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于【例7】:写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?解:因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有的系数最小,系数最大。【例8】:若展开式前三项的二项

6、式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?解:由解出,假设项最大,-6-,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为,有【练8】:在的展开式中系数最大的项是多少?解:假设项最大,,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为【题型七:含有三项变两项】【例9】:求当的展开式中的一次项的系数?解法①:,,当且仅当时,的展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为它的系数为。解法②:故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.【练9】:求式子的常数项?解:,设第项为常数项,则,得,,.【题型八:两个二项式相乘】【例10】:解:.【练10

7、】:解:.【练11】:解:-6-【题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例11】:解:【题型十:赋值法】【例12】:设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若,则等于多少?解:若,有,,令得,又,即解得,.【练12】:若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?解:令,则的展开式中各项系数之和为,所以,则展开式的常数项为.【例13】:解:【练13】:解:【题型十一:整除性】【例14】:证明:能被64整除证:由于各项均能被64整除以上是二项式定理应用的十一种典型题型,可概括为三个方面的应用:①二

8、项式的展开式及组合先项原理的应用;②通项公式的应用(求指定项如第三项、倒数第二项、含有-6-项、常数项、有理项、无理项等,还可求系数最大的项);③赋值法的应用。另外,在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。练习:1.已知(a+b)n展开式中各项的二项式系数之和为8192,则(a+b)n的展开式中项数共有()A.14B

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