矩阵连乘问题《算法分析与设计》.doc

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1、设计性实验报告课程名称：《算法分析与设计》实验题目：矩阵连乘问题组长：成员一：成员二：成员三：系别：数学与计算机科学系专业班级：指导教师：实验日期：一、实验目的和要求实验目的熟悉动态规划算法设计思想和设计步骤，掌握基本的程序设计方法，培养学生用计算机解决实际问题的能力。实验要求1、根据实验内容，认真编写源程序代码、上机调试程序，书写实验报告。2、本实验项目考察学生对教材中核心知识的掌握程度和解决实际问题的能力。3、实验项目可以采用集中与分散实验相结合的方式进行，学生利用平时实验课时间和课外时间进行实验，要求在学期末

2、形成完整的项目程序设计报告。二、实验内容提要矩阵连乘问题给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中，Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2，…，n-1。考查这n个矩阵的连乘积A1,A2,…,An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加

3、括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。三、实验步骤下面考虑矩阵连乘积的最优计算次序问题的动态规划方法。（1）分析最优解的结构（最优子结构性质）设计求解具体问题的动态规划算法的第一步是刻画该问题的最优解结构特征。对于矩阵乘积的最优计算次序问题也不例外。首先，为方便起见，降矩阵乘积AiAi+1…Aj简记为A[i:j]。考查计算A[1：n]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1<=k

4、n））即依此次序，先计算A[1：k]和A[k+1：n]，然后将计算结果相乘得到A[1：n]。依此计算次序，总计算量为A[1：k]的计算量加上A[k+1:n]的计算量，再加上A[1:k]和A[k+1:n]相乘的计算量。这个问题的一个关键特征是：计算A[1:n]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。事实上，若有一个计算A[1:k]的次序需要的计算量更少，则用此次序替换原来计算A[1:k]的次序，得到的计算A[1:n]的计算量将比按最优次序计算所需计算量更少，这是一个矛盾。同理可知

5、，计算A[1:n]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[k+1:n]的次序也是最优的。因此，矩阵连乘积计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。（2）建立递归关系-7-对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j],1=

6、用最优子结构性质计算m[i][j]。事实上，若计算A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=

7、-1]*p[k]*p[j]},i=

8、指数计算时间。注意到在递归计算过程中，不同的子问题个数只有θ（n^2）个。事实上，对于1<=i<=j<=n不同的有序对（i,j）对应于不同的子问题。因此，不同的子问题的个数最多只有n*(n-1)/2+n=θ（n^2）个。由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可以动态规划算法求解的又一显著特征。用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自