矩阵连乘算法.doc

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1、福州大学数学与计算机科学学院《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）专业和班级数学02班姓名詹小青成绩学号实验名称矩阵连乘算法实验目的利用动态规划、公共子序列或贪心算法其中一种实现矩阵连乘实验任务给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。实验步骤1、算法设计思想（动态规划算法实现矩阵连乘）：由于矩阵乘法满足结

2、合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)2、算法基本步骤：设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。当i=j时，

3、A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n； 当i

4、的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照

5、此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。3、动态规划迭代算法设计：用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。4、算法代码：1.//3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现  2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25  3.//p[0-6]=

6、{30,35,15,5,10,20,25}  4.#include "stdafx.h"  5.#include    1.using namespace std;   2.  3.const int L = 7;  4.  5.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);   6.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解  7.  8.int main()  9.{  10.    int p[L]={3

7、0,35,15,5,10,20,25};  11.  12.    int **s = new int *[L];  13.    int **m = new int *[L];  14.    for(int i=0;i

8、endl;  21.    cout<<"矩阵最优计算次序为："<