第3章离散傅里叶变换(DFT).ppt

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1、引言3.1离散傅里叶变换(DFT)的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频域采样3.4DFT快速算法FFT3.5DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法（FFT）引言DFT与FT区别FT:序列的付里叶变换,时频对应关系DFT:序列的FT的有限点采样.也可以直接定义即DFT是FT的N点等间隔采样----频域采样定理频域采样时域周期重复----N越大,DFT包络线越逼近FTDFT变换的意义:FT是连续谱,采样离散化后便于计算机处理DFT的定义、性质及频域采样定理、FFT及其应用3.1离散傅里叶变换的定义DFT定义DFT与Z变换及FT的关系:DFT的

2、物理意义DFT的周期性:----DFT与DFS的关系DFT是DFS的主值区间DFT的矩阵表示回到本节3.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶正变换为离散傅里叶逆变换为离散傅里叶变换对式中，N称为DFT变换区间长度N≥M，可见：DFT使有限长时域离散序列与有限长频域离散序列建立起对应关系回到本节例1已知，分别求和时的。解：由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT的结果也不同。图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系例2：，分别计算x(n)的8点、16点DFT。解:x(n)的8点D

3、FT为x(n)的16点DFT为返回回到本节是在频率区间上的等间隔采样返回回到本节可见:对于同一序列x(n)DFT变换区间长度N不同,DFT变换结果X(k)不同,当N确定后,X(k)与x(n)一一对应的.N越大,DFT的包络线越接近FT,当N足够大,可用DFT进行谱分析DFT的物理意义:DFT与FT的关系:X(k)是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2л]上的N点等间隔采样,采样间隔2л/N.即对序列频谱的离散化.DFT与ZT的关系:X(k)是x(n)的Z变换X(Z)在单位圆上N点等间隔采样.对序列的傅里叶变换进行频域抽样时,自然可以看作是对单位圆上的Z变换进行抽样.

4、表达式如下设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式离散频率、数字频率和模拟频率间的关系模拟频率离散频率或，分别表示模拟频率与模拟角频率。单位分别为赫兹（Hz）和弧度/秒（rad/s）。两者关系为：，单位为弧度（rad）。通过采样信号的频谱，可建立模拟频率与离散（信号数字）频率之间的关系：的取值范围：对应于模拟频率能取的最高频率∴就是离散（信号数字）频率能取的最高频率此时，虽然信号在时域时离散的，但仍然是连续的注意离散频率、数字频率和模拟频率间的关系数字频率它是将离散（信号数字）频率离散化后的结果，用表示。，因此可得出离散频率、数字频率

5、和模拟频率之间的对应关系为：以上所讨论的三种频率变量之间的关系，在对模拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处理中十分重要，望同学们高度重视。回到本节3.1.2DFT的隐含周期性------DFT与DFS的关系DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于WknN的周期性，都隐含周期性，且周期均为N。有限长序列是取周期序列的一个周期来表示.周期序列与有限长序列x(n)的转化:x(n)周期延拓取一个周期x(n)为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：N(n)=x((n))N，N(k)=X((k))N，文字说明图3.1.

6、2有限长序列及其周期延拓对任意整数m，总有均为整数因此:X(k)x(n)隐含周期性X(k)满足同理可证明x(n+mN)=x(n)DFT是DFS的主值区间x(n)X(k)DFSDFT公式说明如果x(n)的长度为N，且(n)=x((n))N，则可写出(n)的离散傅里叶级数表示为取主值区间DFS对DFT对公式说明式(3.1.5)～(3.1.8)说明了DFT和DFS之间的关系。这些关系式成立的条件是N≥M，即DFT的变换区间N不能小于x(n)的长度M。如果该条件不满足，按照式(3.1.5)将x(n)进行延拓时，中将发生时域混叠，由式(3.1.8)得到的X(k)不再是x(n)

7、的DFT，这时以上讲的DFS和DFT之间的关系不再成立M为整数M为整数重要公式(n)=x((n))N，式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1例如则有回到本节3.1.3DFT的矩阵表示周期序列的DFS以及有限长序列x(n)的DFT如下可以发现它们右边的函数形式一样，当然k的定义域不同，`X(k)只是的主值区序列，或者说X(k)以N为周期进行周期延拓即是返回回到本节也可以表示成矩阵形式式中，X是N点DFT频域序列向量:x是时域序列向量:DN称为N点DF