三角形的中位线拓展课件.ppt

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1、三角形的中位线拓展典型例题【例题】.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．解：△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM是△BCD的中位线，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．【例题1】.如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．证明：连接EG、GF、FH、HE，∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、

2、BD的中点．∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．【例题2】.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．求证：OE＝OF.证明：取AD的中点G，连接MG，NG，∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，∵AC=BD，∴GN=GM．∴∠1=∠2，又∵MG∥BD，NG∥AC，∴∠3=∠1，∠2=∠4，∴∠3=∠4∴OE=OF．【例题3】.如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中

3、点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H.求证：∠AHF=∠BGF．证明：连接AC，作AC的中点M，连接ME，MF，∵E是CD的中点，M是AC的中点，∵AD=BC，∴ME=MF，即∠MEF=∠MFE．∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF．【例题4】.如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB与MN的关系是（　　）A．AB=MNB．AB＞MNC．AB＜MND．上述三种情况均可能出现解：连接BD，BD的中点P，连接PN，

4、PM．∵点P，M，N分别是BD，AD，BC的中点，∵AB=CD，∴PM+PN=AB，∵PM+PN＞MN，∴AB＞MN．故选B．B【例题5】.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．求四边形EFGH的周长.解：∵E、F分别是AD、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AB，且同理GH∥AB，且∴四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）＝2×(2.5+3.5)=2×6=12．【例题6】.如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、D

5、C的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是___.解：∵已知平行四边形ABCD，∴AD=BC=6，CD=AB=10，又E、F分别是AD、DC的中点，∴AC=2EF=14，所以四边形EACF的周长为：AE+EF+CF+AC=3+7+5+14=29．故答案为：29．【例题7】.已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解：AB=2OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC

6、∴∠1=∠E，∠ABF=∠2．∵CE=DC，又CD=AB，∴AB=CE．∴在△ABF和△ECF中，∠1=∠EAB=CE∠ABF=∠2，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF．又OA=OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF，AB∥OF．【例题8】.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=18，求DM的长．解：延长BD交AC于E∵BD⊥AD∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2在△ABD与△AED中∠1=∠2AD=AD∠ADB=∠ADE∴△ABD≌△AED(ASA

7、)∴BD=ED，AE=AB=12∴EC=AC-AE=18-12=6∵M是BC的中点，D是BE的中点，∴DM是△BCE的中位线，【例题9】.如图，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，求证：解：作AC的中点E，连接EM，DE，又∵M为BC的中点，∴EM为△ABC的中位线，∴EM∥AB，∴∠B＝∠1，∵AD⊥BC，E为AC的中点，∴DE＝CE，∴∠2＝∠C∵∠1＝∠2＋∠3，∠B＝2∠C，∴∠2＝∠3∴DM＝EM，【例题10】.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC

8、、AE的中点．求证：MN∥AD．证明：连接BE，记BE中点为F，连接FN、FM，∵FN为△EAB的中位线，∴∠BAE＝∠MNC∵FM为△