《有限差分法》PPT课件.ppt

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1、第一章有限差分法主要内容差分和差商有限差分格式不同媒质分界面上的差分格式及定解问题的差分格式有限差分法的求解场强与电、磁积分量的计算典型算例分析介绍有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法。为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据

2、差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。1、差分与差商用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于零时，差分变成微分差分与差商前向差分后向差分中心差分差分与差商通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶导数的逼近度可由泰勒公式展开两式相减差分与差商前向、后向差分截断于，具有h的一阶精度，而中心差分法截断于，具有h的二阶精度，中心差分的精度比较高。函数f（x）的二阶导数前向差分前向差分差分与差商对偏导数，可仿照上述方法，将表示为：差分格式二维Possion方程差分格式有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的分布方式，

3、这样可使每个离散点上得到相同形式的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划分，差分格式一阶偏导数差分格式可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度，它的思路：1、3结点与0结点在x方向的差分用泰勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截断误差来计算系数差分格式忽略h3以上的高次幂的项，并且令项的系数为零，这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为零的条件求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式差分格式二阶偏导数的差分格式令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达式代入上

4、式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式差分格式当时，上式可以简化为Possion方程五点差分格式不同媒质分界面上的差分格式分界面与网格线重合的情况两式中和是假设“虚”电位，可以利用分界面上场量遵循的边界条件，削去它们不同媒质分界面上的差分格式其次，假设在分界面上没有自由电荷中心差分格式表示把前面关于和式子代入上式不同媒质分界面上的差分格式分界面与网格线呈对角线的情况两式中和是假设“虚”电位，可以利用分界面上场量遵循的边界条件，削去它们不同媒质分界面上的差分格式其次，假设在分界面上没有自由电荷对M、N结点应用线性插值不同媒质分界面上的差分格式把前面的＋和＋代入

5、上式，得网格线呈对角线的差分格式：定解条件的离散化第一类边界条件的差分离散化应用多元函数的泰勒公式，结点1、3的位函数值和可通过表示为以h和h1分别与以上两式相乘且相加，削去一阶偏导项，然后截断与h的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导数的差分格式定解条件的离散化同理，在0结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式代入给定的泊松方程，得到通常第一类边界条件的差分格式定解条件的离散化第三类边界条件的差分离散化第一种情况，当结点刚好着落于边界线L上时，这还取决于边界结点处的外法线与网格线重合，定解条件的离散化外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向与水平夹角为ā，其

6、法向导数显然是在x和y方向的导数在法向的投影组合，定解条件的离散化第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要引入于结点0相关的边界结点O‘，点的外方向n作为结点0处的“外方向n”，且近似地认为边界条件中给定的函数和均在O’点上的取值。这样，此种情况下的第三类边界条件的离散格式于式相似，定解条件的离散化第二类边界条件的差分离散化第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。我们这里讨论最常见的一种情况加一层虚拟边界上面也是对称边界条件的离散公式有限差分法的求解综上所述，对场域D内各结点（包括所有场域内结点和边界结点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离散

7、结点上的位函数为待求量的差分方程组（代数方程组）。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值计算步骤通常是：离散场域，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。离散化场方程，即基于差分原理的应用，对场域内场的偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的差分格式。计算离散解，建立的差分格式（与原定解问题对立的离散数学模型—代数方程组），选用合适的代数方程组解法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。有限差分法的求解有限差分法格式特点仔细分析离散的差分方程组，例如泊松方程，从离散方程式不难看出，该方程组的系数一般是有规律的，且方程都很简单，每个方程的项数不多（待求量最

8、多不超过5