有限差分法基础.ppt

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1、第二章有限差分法主讲人：胡才博中国科学院大学地球科学学院中国科学院计算地球动力学重点实验室.第二章有限差分法2.1有限差分法基础2.2网格剖分2.3差分格式2.4差分方程2.5应用实例.1.地球内部介质，不仅存在纵向非均匀结构（一维地球模型），也存在横向非均匀结构（不同块体、断层系统）；2.几何模型也呈现出相当的复杂性；3.另外，边界条件和初始条件对于不同问题具有特殊性。解析方法的局限性Hu,C.,Y.Cai,andZ.Wang(2012),Effectsoflargehistoricalearthquake

2、s,viscousrelaxation,andtectonicloadingonthe2008Wenchuanearthquake,JournalofGeophysicalResearch,117,B06410,doi:10.1029/2011JB009046.(SCI,IF:3.303)汶川大地震的动力学成因.对于存在复杂介质和几何、特殊边界条件和初始条件的实际地质问题，一般不存在解析解，需要近似的数值求解方法。有限差分方法是地球物理方法中最常见的一种。有限差分方法（FiniteDifferenceMeth

3、od,FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛使用。有限差分方法的基本特点该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。2.1有限差分法基础.有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式；(2)求解差分

4、方程组。有限差分方法的基本原理该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分方法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组。2.1有限差分法基础.有限差分法的主要内容建立地球物理问题的离散有限差分模型（1）如何根据问题的特点将定解区域做网格划分；（2）如何在所有网格节点上用有限差分格式对导数求近似，对函数、初始条件和边界条件求近似；（3）如何把原方程离散化为代数方程组，即有限差分方程组。2.

5、从理论上研究有限差分模型的形态，以保证计算过程的可行性和计算结果的正确性（1）解的相容性；（2）解的稳定性；（3）解的收敛性。3.如何数值求解差分方程组.网格剖分就是研究区域和边界的离散化1.矩形分割2.三角形分割3.极网格分割2.2网格剖分.对地球物理问题的连续求解区域通过网格划分离散为空间上得一系列网格点，接下来需要利用一定的差分格式对偏微分方程组中的导数用差商进行近似，从而将偏微分方程组离散化为差分方程组。对于函数f(x)，通常意义下的导数（微商）定义为：当dx→0时，以上三种形式都是微商的正确定义。如

6、果dx是有限的，如何给出微商的近似定义？.2.3差分格式用Taylor级数展开可以给出微商的近似形式。对于连续函数f(x)，它在相邻点上的值f(x+Δx)和f(x-Δx)可以用Taylor级数展开为dx变为Δx如果Δx很小，f(x)可微，则以上级数收敛。次数越高，收敛级数的项的绝对值越小。由（1）得到，（1）（2）（3）（4）.式中的O(x)项表示忽略掉的所有项中的最大项的量级是Δx，也就是说，忽略掉这些项带来的误差中的最大项和Δx成正比。由（4）给出导数的一阶精度（firstorderaccurate）近似

7、为：（4）（5）（5）式称为向前差分格式（forward-differenceformula）由（2）式得到由（7）式得到导数的另一个一阶精度近似：（6）（7）（8）（8）式称为向后差分形式（backward-differenceformula）。.（1）式减去（2）式，得到：（9）式中的O(Δx2)项表示忽略掉这些项带来的误差中的最大项和Δx2成正比。由（9）式得到导数的二阶精度（secondorderaccurate）近似为：（10）式称为中心差分形式（central-differenceformula）

8、。（9）（10）（1）（2）.（1）（2）（1）式和（2）式相加，得到：（12）式称为二阶导数的二阶精度中心差分形式。忽略Δx的四次方及更高阶项(11)(12)f(xi+h)-f(xi):节点xi的一阶向前差分f(xi)-f(xi-h):节点xi的一阶向后差分f(xi+h)-f(xi-h):节点xi的一阶中心差分前后是相对x轴正方向而言.总结：1、向前差分形式：2、向后差分形式：3、中心差分形式：单