函数与方程思想在解题中的应用.doc

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1、函数与方程思想在解题中的应用宁波东钱湖旅游学校施亚娜摘要：函数与方程思想是中学数学中的基本思想。其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题。它们还密切相关,有时需要互相转化来解决问题。本文主要阐述函数与方程思想的地位和作用，函数与方程思想的概念及它们在解集合、不等式、数列等方面的应用，包括运用函数思想、方程思想，函数和方程统一思想。关键词：数学思想；函数思想;方程思想;函数与方程思想数学知识可以

2、记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想。一、函数与方程思想的地位和作用数学思想是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它是思维加工的产物，比一般的数学概念和数学方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本质。可以说，数学思

3、想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。目前高中阶段主要数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然。函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。函数与方程思想作为高中数学思想方法的重点，对学生的要求也越来越高。考试中心指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交

4、汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查。”我们仅仅学习了函数与方程知识，在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题。因此应让学生自己体会函数与方程的联系，通过解题来领悟函数与方程的思想。二、函数与方程思想函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。-7-在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就

5、需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。它们是两个不同的概念：1．函数的思想，是用运动变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数

6、关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化繁为简，化难为易的目的。2．方程的思想，是从问题的数量关系入手，经过一定的数学变换或构造，把已知和未知通过相等关系统一在方程中，使非方程问题转化为方程的形式，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。它们还有着密切的联系：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与

7、x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，如函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。总之，可以通过互相转化、接轨来解决问题。三、函数与方程思想在解题中的几个应用一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程。一个二元方程，两个变量存

8、在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题可以用方程的方法解决。总之，要领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，还要从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。经常利用的性质有函数的单调