古希腊几何三大问题——康明昌

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1、中数网——http://www.cnmaths.com古希腊几何三大问题康明昌§1.前言§2.几何三大问题简介§3.为什么这些问题无解？§4.超越数简介§5.几何三大问题不是几何学研究的主流1.前言古希腊人在几何学的研究开创了一个辉煌的时代。Euclid（欧基里德，约纪元前300年）的《几何原本》(Elements)总结了当时希腊数学发展的成果。由于几千年经验的累积，人类已经能够掌握许多几何知识。如何有效的运用、正确的认识、以及更进一步的发展这些知识，促使希腊人有系统的去整理它们。这个工作的结果，就是《几何原本》的纂成。《几何原本》是希腊文明结晶品之一。《几何原本》把纷杂的知识变成一个

2、演绎系统，推演出来有条不紊的定理；而这个系统所根据的（也就是没有加以证明的）只是少数几个看来相当明显并且合乎人类经验的现象。这几个「不证自明」的现象叫做「公理」(axioms或postulates)；由这些公理出发，Euclid可以推演出当时人类已经获得的几何知识。几何作图是几何学研究的一个课题。正如希腊人整理《几何原本》秉持的一贯精神，他们把几何作图的「竞赛规则」定得清清楚楚。希腊人的几何作图只准用（没有刻划的）直尺和圆规。据说，在纪元前351年的Menaechmus曾经建议把拋物线的制图仪也列入合法的作图工具，结果（根据Plutarch的说法）被Plato（柏拉图）痛斥一顿，Pla

3、to认为使用陋俗工匠制造的仪器来作图，是在污辱几何学。古希腊人在研究几何作图时，有三个问题无法解决，这就是通称的古希腊几何三大问题。这些问题直到十九世纪才证明是无解的。所谓无解并不是数学家不能答复这些问题，而是数学家能够证明这些作图问题是办不到的，就像一般人能够证明方程式x2+1=0没有实数根的情况一样。第25页共25页中数网——http://www.cnmaths.com既然这些问题是无解的，那么几何学家岂不是没事干了？事实恰恰相反，从十八世纪末期以来，几何三大问题就已经不是几何学研究的主流；十九世纪几何学研究的主流是，射影几何、非欧几何、微分几何与代数几何。因此几何三大问题的无解并

4、没有给几何学家任何冲击。如果这么说的话，几何三大问题的解决岂不是毫无意义吗?这也不尽然。几何三大问题的解决，一方面结束了几个历史性悬而未决的问题，更重要的另一面是，它引发了新的问题──也就是超越数的研究。超越数的研究使数学家更熟练的驾驭复数系，更透澈的洞悉复数系的本质。超越数的研究就是数学家通称的「Diophantineanalysisandtranscendentalnumbertheory」，这是目前数学研究非常热门、非常重要的一部份。本文的主题是介绍几何三大问题与超越数的基本概念，同时也介绍十九世纪几何学的几个主要方向。2.几何三大问题简介古希腊几何三大问题是，在只准使用（没有刻

5、划的）直尺与圆规的限制之下，求解以下的作图问题1.（方圆问题）求作一个正方形，使其面积和半径为1的圆面积相等；2.（倍立方问题）求作一个正立方体，使其体积为边长为1的正立方体的2倍；3.（三等分角问题）三等分任意已知角。4.以上问题的1是任意选定的单位长度。1在欧氏平面几何学中，我们知道古希腊人能够做出长度为任意有理数的线段；他们也能做出长度为、、的线段。他们能够做圆内接（或外切）正五边形、正六边形。但是他们始终做不出以上三个作图问题。因此他们认为这三个问题一定是非常困难的，以后的历史证明的确如此。简单的分析一下，方圆问题其实是要做出长度为的线段，倍立方问题是要做出长度为的线段。三等分

6、角问题也极为类似，因为如果给我们一个角度θ，，（假设已经选好单位长度）我们就可以求得，令其为α。如果我们能够求出，我们就可以做出的角度。但是，第25页共25页中数网——http://www.cnmaths.com因此，x满足以下方程式：其中是已知线段长度。令因故知方程式有三相异实根，x是唯一的正根。归根究底，所谓几何三大问题无非是，给定一个单位长度；1.（方圆问题）求作一个长度为的线段。2.（倍立方问题）求作一个长度为的线段。3.（三等分角问题）先给长度为α的线段，求作一个长度为x的线段，而x满足。问题既然转化成这种形式，我们当然要问：到底有那些长度是作得出来的？那些长度是做不出来的？

7、如果我们令S={r:r是任意实数；在给定单位长度1时，我们利用直尺与圆规可以作出长度为

8、r

9、的线段}。那么，方圆问题与倍立问题变成与和是否在S之内。同样的，令T={r:r是任意实数；在给定单位长度1与另一长度α第25页共25页中数网——http://www.cnmaths.com时，我们利用直尺与圆规可以做出长度为

10、r

11、的线段}。很显然的，S与T都包含有理数，并且、、、都落在S，也落在T。由比例定理可知，如果，则。可知S是实数的子集合，并且S之