数学建模的实验报告.doc

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1、一、问题路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、数学模型已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P

2、1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。R1R2P2h2P1h1α1Qα2xSxyO经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为：其中：R12=h12+x2R22=h22+(S-x)2则Q点的光照强度Ix=I1+I2分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。一、算法与编程1.当h1=5m，h2=6m时:symptomsxyx=0:0.1:20;y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20

3、-x).^2).^3);plot(x,y)gridon;在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点①对Ix求导：symsxf=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)②运用MATLAB求出极值点s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8)s1=.e-18.+11.*i19.9.8.-11.*i③根据实际要求，x应为正实数，选

4、择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：symsxI=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);subs(I,x,19.9767)subs(I,x,9.3383)subs(I,x,0.02849)ans=0.0845ans=0.0182ans=0.820x0.028499.3382919.9766I0.08200.01820.0845综上，在19.3米时有最亮点；在9.33米时有最暗点2.当h1=5m，3m

5、求偏导，并令其为0：②运用MATLAB求出极值点solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h①对x求偏导，并令其为0：②通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20

6、-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到Ih=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))x=9.5032I=0.01863．当h1，h2均在3m-9m之间时:①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/2)')solve('

7、3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=2^(1/2)*h1-2^(1/2)*h1ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：③利用MATLAB，求得x值：s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6)s1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i④按照实际需求，选择x

8、=9.32525⑤带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点h1=(1/sqrt(2))*9.32525h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525)h1=6.5939h2=7.5482一、计算结果1.当h1=5m，h2=6m时:x00.9.19.20I(x)0.0.0.0.0.x=9.33m时，为最暗点，I=0.；x=19.