第七章数值积分与数值微分ppt课件.ppt

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1、§7.1NewtonCotes公式§7.2复化求积公式§7.3Romberg求积法§7.4Gauss型求积公式第七章数值积分与数值微分§7.5数值微分§7.0数值积分概述§7.0数值积分概述由积分学基本定理知但应用中常碰到如下情况：①f(x)的原函数无法用初等函数给出②f(x)用表格形式给出③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示,但表达式过于复杂。这时积分与求导都必须使用数值的方法。在积分区间[a,b]上取一系列点，设用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积分近似值其中R[f]称为求积公式的余项。称为求积节点。称为求积系数。的具体形式。积节点

2、的选取有关，而不依赖与被积函数f(x)仅与求§7.1NewtonCotes公式一、.Newton—Cotes求积公式将[a，b]分为n等份，常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插值多项式Pn(x)来构造求积公式称为插值型求积公式。，选取节点，作n次Lagrange插值多项式系数还可以进一步表示：由Lagrange插值公式，可得显然系数与f(x)无关，只与节点有关。令x=a+th即有dx=hdt，故故故求积公式可写为称为柯特斯系数，上式称Newton----Cotes公式。称为Newton－Cotes公式的截断误差。其中:当n=1时，该公式称为

3、梯形公式。n=2可计算得到它称为辛浦生（Simpson）公式或抛物线公式。故有：n=4Newton—Cotes公式为其中，这个公式特别称为柯特斯公式。类似地我们可以求出n=5,6,…时的柯特斯系数，从而建立相应的求积公式。二、求积公式的代数精确度定义：如果对于一切不高于m次的代数多项式准确成立，而对于某个m+1次多项式并不准确成立，则称上述求积公式具有m次代数精确度，简称代数精度。若某个求积公式对尽可能多的被积函数都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使用价值。对此，有如下定义：都能准确成立，而对于Remark1：求积公式具有m次代数精确度的充

4、要条件是它对于不准确成立。Remark2：梯形公式、辛浦生公式、柯特斯公式分别具有1，3，5次代数精度。Remark3：牛顿－柯特斯公式是基于n+1个节点的插值公式导出的，因而其代数精度不低于n次(>=n)。Remark4：n为偶数的牛顿－柯特斯公式具有n+1次代数精度，n为奇数的牛顿－柯特斯公式具有n次代数精度。五、待定系数法利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可以具有尽可能高的代数精度。定理：使求积公式至少有n次在区间[a,b]上,对于给定n+1个互异节点，总存在求积系数事实上，只要令求积公式对于都能准确成立即可得到下式：代数精度。则可

5、通过给定的n+1个节点得到上述含n+1个未知数、n+1个方程的方程组。若求积节点互异，则从而可得唯一解从而构造出至少具有n次代数精度的求积公式。例：确定求积公式解：求积公式中含有一个待定参数，当f(x)=1,x时,有中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式具有的代数精度。故令求积公式对f(x)=x2成立,即得令代入已求得的求积公式，显然故具有三次代数精度。令三、求积公式的截断误差引理（积分第二中值定理）：如果f(x),g(x)在区间[a,b]连续，且g(x)在区间(a,b)不变号，则存在(a,b),使得定理7.1：若f(x

6、)在[a,b]上有二阶连续导数，则梯形求积公式的截断误差为：由于是依赖于x的函数，且在[a,b]上连续，故运用积分中值定理，在[a,b]上存在一点使得：证：证毕定理7.2：若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数，则辛浦生求积公式的截断误差为：证明：由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次数小于等于3的多项式，使满足：由于是依赖于x的函数，在[a,b]上连续，故可运用积分中值定理，在[a,b]上存在一点，使证毕类似地,若f(x)在[a,b]上有六阶连续导数，则柯特斯求积公式的截断误差为：四、Newton－Cotes公式的稳定性设计算有绝对误差，即

7、由Newton－Cotes公式的代数精确度及余项的结果看，n越大越好。而事实上，n增大时，计算量也变大，误差积累变得越来越严重。另外，求积公式的稳定性及收敛性也没有保证。因为牛顿－柯特斯公式对于f(x)=1必然准确成立，故有则在实际中用代替所产生的误差为如果均为正数，令，则有用此计算过程是稳定的。如果有正有负，则此时误差得不到控制，因而稳定性得不到保证。当n很大时，Newton－Cotes求积公式的系数出现负值，因此实际中很少使用。§7.2复化求积公式当n7时，Newton-Cotes系数均为正，但从n=8开始，Newton-Cotes系数有

8、正有负，这会使计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。因此，实际计算时，一般不采用n较大的Newton-Cotes公式，而是将区间[a,b]等分为N个小