第五节稳定性和代数稳定判据ppt课件.ppt

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1、第五节系统的稳定性和代数稳定判据8/22/20211一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。8/22/20212定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移

2、，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳定的。稳定的定义8/22/20213定义二：在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output)意义下的稳定性定义。若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的，否则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不稳定的。有界输入－有界输出

3、稳定性的概念是考虑在输入影响下系统的行为。尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但对线性定常系统来说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输入－有界输出的意义下，系统稳定与否完全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。稳定的定义8/22/20214设系统或元件的微分方程为：上式右边第一项为零状态解，对应于由输入引起的响应过程。第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。+取决于初始条件的多项式稳定的充要条件和属性式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变化，得

4、(初始值不全为零）：其时域解为：8/22/20215稳定的充要条件和属性当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。8/22/20216线性控制系统稳定的充分必要条件两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初始条件为零，输入作用为单位脉冲信号，这时系统的输出便是单位脉冲响应。这相当于在扰动信号作用下，输出信号偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳定性定义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态，即：则线性控制系统是稳定的。下面讨论系统稳

5、定性与系统极点之间的关系:由于系统的输入为单位脉冲信号，则系统的输出为：8/22/20217部分分式展开得：单位脉冲响应为：可见，若，则式中和应该为负数。而和分别为系统的实数极点和共轭复数极点的实部，表明若要使单位脉冲响应收敛于零，系统的极点均应有负的实部。则线性系统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须位于左半平面。8/22/20218系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复根，则其脉冲响应函数就呈发散形式，系统不可能再回到原来的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。也就是说，对于不稳定系统，特征方程至少有一个根位于右半平面，在这种情况下，系统的输出

6、对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对共轭根在虚轴上，而其它根均位于左半平面，这样的系统称为临界稳定系统，临界稳定系统的输出根据输入的不同，或等幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定系统。8/22/20219线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。8/22/202110充要条件说明如果特征方程中有一

7、个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面8/22/202111再来讨论有界输入－有界输出意义下的稳定性定义。同样假设系统的单位脉冲响应为，则系统在任意输入信号的作用下，输出响应可表示为与的卷积，如果有界，即存在常数使得：由于：可见，若绝对可积，即有界或存在常数，使得：则输出响应必定是有界的8/22/202112若无界，则