(报童诀窍补充知识) 第2章ppt课件.ppt

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1、§2.2随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/42.2.1数学期望的概念若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：X0100P1/43/4甲

2、的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.2.2.2数学期望的定义定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...若级数绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为连续随机变量的数学期望定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为例2.2.1则E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X1012P0.20.10.40.3数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注意点2.2

3、.3数学期望的性质定理2.2.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则例2.2.2设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3设X~求下列X的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X2)2解:(1)E(2X1)

4、=1/3,(2)E(X2)2=11/6.§2.3随机变量的方差与标准差数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.2.3.1方差与标准差的定义定义2.3.1若E(XE(X))2存在，则称E(XE(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X))2(2)称注意点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.2.3.2方差的性质(1)Var(c)=0.性质2.3.2(2)Var(aX+

5、b)=a2Var(X).性质2.3.3(3)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质2.3.1例2.3.1设X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6随机变量的标准化设Var(X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X的标准化.§2.4常用离散分布2.4.1二项分布记为X~b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.试验次数为n=4,“成功”即

6、取得合格品的概率为p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：若Y为不合格品件数，Y？Y~b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为的泊松分布,记为X~P().2.4.2泊松分布记为X~h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型：N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3超几何分布记为X~Ge(p)X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即

7、：P(X>m+n

8、X>m)=P(X>n)2.4.4几何分布注意点(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.常用离散分布的数学期望几何分布Ge(p)的数学期望=1/p0-1分布的数学期望=p二项分布b(n,p)的数学期望=np泊松分布P()的数学期望=常用离散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)二项分布b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2§2.5常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、

9、贝塔分布。记为X~N(,2),其中>0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1正态分布yxOμ正态分布的性质(1)p(x)关于是对称的.p(x)x0μ在点p(x)取得最大值.(2)若固定,改变,(3)若固定,改变,σ小σ大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.p(x)x0xx标准正态分布N(0,1)密度函数记