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1、中考数学复习十．初中几何综合复习首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们
2、将对它们分别进行讨论一.折叠的意义AB´DB图2CBAOBَl图11．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。C如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OBˊ是OB在折叠前的位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形如图如图（1）中OBˊ=OB；如图（2），△ABˊC≌
3、△ABC；(3)图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称如图（1）OBˊ和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△ABˊC和△ABC关于直线AC成轴对称。二．和折叠有关的问题图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。问题1:将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△AˊEF.FEAˊˊa123（a）△AˊEF是什么三角形？结论
4、：三角形AE΄F是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的,∴∠1=∠2,FEAˊaPQ又∵矩形的对边是平行的，∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A΄E=A΄F三角形AE΄F是等腰三角形方法二：∵图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度的线段EP和FQ相等，即∆AˊEF的边AˊE和AˊF上的高相等，∴AˊE=AˊFAˊˊˊEF三角形AE΄F是等腰三角形(b)改变折叠的角度α的大小，α三角形AˊEF的面积是否会改变？为什么?答：不会改变。分析：α的改变影响了AˊE的长度，但
5、却不能改变边AˊE上的高，三角形AˊEF的面积会随着α的确定而确定.例一：在上面的图中，标出点Aˊ在折叠前对应的位置A,四边形AˊEAF是什么四边形？分析：（1）由前面的分析可知FEAˊAAˊ与Aˊ在折叠前的位置A关于折痕EF成轴对称,所以作Aˊ关于EF的对称点即可找到点A（过点Aˊ作AˊA⊥EF交矩形的边于点A）。同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。（2）四边形AEAˊF是菱形证法一：∵A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴A和Aˊ关于直线EF轴对称,∴AAˊ⊥EF,且AO=AˊO,又∵AE∥Aˊ
6、F,∴EO∶OF=AO∶OAˊ,∴EO=OF∴四边形AEAˊF是菱形证法二：A是Aˊ在折叠前对应的位置,∴∆AEF≌∆AˊEF,AˊE=AˊE,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,AˊE=AˊF,∴AE=AF=AˊE=AˊF,∴四边形AEAˊF是菱形.αEAˊF例2.在上题的图中,若翻折的角度α=30º,a=2,求图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积.。分析：图中被覆盖的部分△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AˊF或AˊE的长。答：S四边形AEA
7、ˊF＝2S△AˊEF=（解答过程略）α=45º练一练：当α的大小分别45º、60º时，图中被覆盖的部分△AˊEF.的面积是多少？α=60ºPF例题3.如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN上，（如图中1的点P）,若AB=√3,则折痕AE的长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE)的长。解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F,则FE=FA(在问题一中已证)∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶
8、PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE=∠D=90°,∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。解法二：∵M、N分别是矩形的边AB和CD的中点，∴MN∥AD∥BC且AN是AP的一半∴MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1的结论)∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30°,∠1=30°FP∴AE=2。解法三：由BC//MN//DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=
