天津市南开中学2014-2015学年高二(下)期中数学试卷.doc

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1、天津市南开中学2014-2015学年高二（下）期中数学试卷　一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015春•天津校级期中）i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数对应点，判断即可．解答：解：复数==，复数对应点的坐标（）在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数的几何意义，复数代数形式的混合运算，考查计算能力．　2．（2015春•天津校级期中）函数f（x）=2x3﹣4x的单

2、调递减区间是（　　）　A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间解答：解：因为f′（x）=6x2﹣4=6（x+）（x﹣），令f′（x）＜0，解得﹣＜x＜所以函数f（x）=2x3﹣4x的单调递减区间（﹣，）．故选：C．点评：本题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系，求函数的单调区间，属于基础题．　3．（2015春•天津校级期中）某班级要从4名男生、3名女生以及3位任课教师中选派一位男生，一位女生，一位任课

3、教师共3人参加社区服务，那么不同的选派方案的种数为（　　）　A．12B．24C．36D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，根据分步计数原理即可解决．解答：解：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，故有C41C31C31=36种，故选：C．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题．　4．（2015春•天津校级期中）设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），则实数b的值是（　　）　A．1B．﹣1C．3D．﹣3考点：利用导数

4、研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：由函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程即可解得．解答：解：求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即：1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12，解得：a=1，b=﹣3．故选：D．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键．　5．（2015春•天津校级期中）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2x的图象

5、上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞f（）成立．运用类比的思想方法可得下列结论（1）f（x）=sinx，（0＜x＜π）有＞f（）成立（2）f（x）=lnx有＜f（）成立（3）f（x）=x3，（x＞0）有＞f（）成立（4）f（x）=tanx，（0＜x＜）有＞f（）成立其中，正确的结论的个数为（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到＞f（）成立，再根据函数图象的特征，即可类比得到相应的不等式．解答：解：

6、∵函数y=2x上任意两点A，B两点之间函数图象的上方，∴函数y=2x上的图象是向下凹的，可得不等式＞f（），据此，（1）y=sinx（x∈（0，π））图象可以看出：y=sinx（x∈（0，π））图象是向上凸的，故可知＜f（）成立，故不正确；（2）f（x）=lnx是向下凹的，有＞f（）成立，故不正确；（3）f（x）=x3，（x＞0）是向下凹的，有＞f（）成立，故正确；（4）f（x）=tanx，（0＜x＜）是向下凹的，有＞f（）成立，故正确．故选：B．点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是

7、图象法．　6．（2015春•天津校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围是（　　）　A．a＜B．a≤C．a＜且a≠0D．a＜或a≠0考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．解答：解：∵f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7，∴f'（x）=3ax2﹣4x+4∵函数f（x）=ax3﹣2x2+4x﹣7在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极

8、小值，∴△=（﹣4）2﹣4×3a×4＞